אלגברה לכיתה ח
לימודי האלגברה בכיתה ח הם המשך ישיר של לימודי האלגברה בכיתה ז. בתוך כל אחד מהנושאים המופיעים בתוכנית ישנו דגש על פתוח מיומנויות מתמטיות שתידרשנה בהמשך הלמידה. התוכנית מדגישה הטמעה מדורגת של כל נושא, מתוך כוונה מוצהרת לאפשר לשיעור גבוה יותר של תלמידים, לעומת העבר, להבין לעומק את תשתית הידע, ולהכיר טוב יותר את השימושים האפשריים בידע זה. הטמעת הידע והשימושים בו נועדו לאפשר ליותר תלמידים להשתמש בהם בהמשך לימודיהם ובחייהם כבוגרים.
מושג פונקציה יילמד כהיכרות עם מצבים מציאותיים שבהם טבעי להגדיר התאמות בין מספרים ולשלב בהדרגה את הייצוג הגרפי. הנושא המרכזי הוא הפונקציה הליניארית כקו ישר ומשוואתו. נושא זה ושאר הנושאים מוגשים בשילוב עם תופעות ליניאריות שאותן יש להכיר ואשר הופכות את לימודי האלגברה לשימושיים. כל שלב בתהליך הלמידה מבוסס על ייצוג גרפי, ובהמשך ייצוג אלגברי של תופעה המתוארת באמצעות מלל. השאלות המילוליות הנלוות, צריכות להיות משולבות בכל שלב. משימות האוריינות באות לידי ביטוי גם כמשימות סיכום של נושא וגם משולבות במהלך ההוראה עצמו. בדרך זו יש להטמיע בקרב התלמידים את הקישוריות של האלגברה למגוון תחומים תוך-מתמטיים וחוץ-מתמטיים. לימודי האלגברה בכיתה ח צריכים להיות מכוונים לתובנה של הנלמד מעבר ליכולת פרוצדורלית של ביצוע הנדרש.
בטבלה שלפנינו מוצגים הנושאים השונים הנמצאים בתחום, והמלצת מספר שעות ההוראה לכל נושא. מובן שההמלצות הללו אינן מותאמות לכל הכיתות אך מהוות בסיס להערכת משך ההוראה של כל נושא.
| שעות מומלצות | נושא ההוראה | התחום האלגברי בכיתה ח |
|---|---|---|
| 5 | גרפים שימושיים – קריאה וסרטוט | נושאי הוראה כיתה ח |
| 6 | מבוא לפונקציה פונקציה בייצוג גרפי היכרות עם ייצוג אלגברי של פונקציה | |
| 4 | עליה וירידה של גרף פונקציה תיאור גרפי של תופעות ליניאריות | |
| 16 | קצב שינוי של פונקציה שיפוע של ישר התאמה בין ישר למשוואתו | |
| 5 | פתרון משוואות הכוללות הגדלה או הקטנה באחוזים | נושאי הוראה כיתה ח |
| 5 | אי שוויונות | |
| 13 | פתרון מערכת משוואות שהצגתן מפורשת פתרון מערכת משוואות בשני נעלמים |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
| דוגמאות: 1.
| דגשים: יש להדגים תופעות המיוצגות באמצעות גרף, במערכת צירים, כך שתלמידים ידעו לקרוא אותו וליצור מתוכו טבלת ערכים חלקית. יש להציג את הגרף כתוספת לייצוגים אחרים שכבר נלמדו: תיאורים מילוליים, טבלאות ערכים וביטויים אלגבריים. | גרפים שימושיים – קריאה וסרטוט |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
| 2. נסמן ב-m את אורך הצלע במשולש שווה צלעות. צרו טבלה המתארת את היקף המשולש עבור ערכים שונים של m ושרטטו את הנקודות המתאימות לערכים בטבלה על מערכת צירים. 3. לפניכם גרף המתאר את מפלס הכנרת משנת 2020 ועד שנת 2025. שתי מכוניות נסעו באותו הכביש. האחת נסעה מחיפה לבאר-שבע והאחרת נסעה מבאר-שבע לחיפה. המרחק בין חיפה לבאר-שבע הוא 200 ק"מ.  | התוספת תודגם באמצעות דוגמאות ותופעות שכבר נלמדו בעבר. עד כה התלמידים למדו להכליל טבלת ערכים לביטוי אלגברי ולייצג טבלת ערכים במערכת צירים. בשלב זה ילמדו התלמידים לעבור מביטוי אלגברי לייצוג גרפי באמצעות טבלת ערכים כשלב מתווך. התלמידים יפתחו את המיומנויות הבאות בקריאת גרף:א. מציאת הערך של y שמתאים לערך נתון של x.ב. מציאת ערך או ערכים של x שמתאימים לערך נתון של y.ג. |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
ענו על שאלות הבאות בהסתמך על הגרף:
| מציאת הערך הגדול (הגבוה) או הקטן (הנמוך) ביותר של y, ומציאת הערך או הערכים של x שעבורם מתקבל ערך זה של y.ד. מציאת טווח הערכים של y המתקבל עבור תחום נתון של x ולהיפך. תחום בגרף הוא חלק מציר x. בשלב זה נתמקד בתחומים שצורתם קטע, קרן, קבוצה סופית של נקודות או איחוד של אלה. המושג 'תחום' יוזכר לצורך שימוש בו בהמשך במגוון של נושאים, כמו תחומי עלייה ותחומי ירידה של פונקציות. |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
4. מחיר דלק הוא 7 שקלים לליטר. נתון גרף המתאר את העלות של כמויות שונות של דלק. א. עבור אילו כמויות של דלק העלות גבוהה מ-63 שקלים? סמנו על ציר x (במרקר) את תחום זה. ב. עבור אילו כמויות של דלק העלות נמוכה מ-63 שקלים? סמנו על ציר x (במרקר שונה) את תחום זה. ג. ניתן לתדלק מכוניות פרטיות בכמות דלק שאינה עולה על 49 ליטר. ניתן לתדלק מכוניות מסחריות בכמות דלק שאינה עולה על 70 ליטר. | במרבית הגרפים השימושיים שבהם ציר ה-x הוא משתנה רציף, משתנה זה מייצג זמן. יש להכיר גם דוגמאות שבהן ציר ה-x מייצג גדלים אחרים. |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
| סמנו על ציר x (במרקר אחר) את התחום המתאר את כמויות הדלק שמתאימות למכוניות מסחריות ואינן מתאימות למכוניות פרטיות. | ||
1. לכל תיאור קבעו מהו תחום הגדרה וכתבו מספר דוגמאות למציאת ערכי הפונקציה עבור ערכי משתנה מתחום ההגדרה.
2. משימה גלגל ענק של תוכנית מאור. לפניכם תיאור של מיני גלגל ענק המתאים לילדים קטנים. | פונקציה היא התאמה בין שתי קבוצות, שבה לכל איבר בקבוצה אחת הנקראת תחום הגדרה, מותאם בדיוק ערך אחד בקבוצה השנייה הנקראת קבוצת היעד (טווח). דגשים:
| מבוא לפונקציות |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
| במיני הגלגל הענק ישנם 12 תאים הנמצאים במרחקים שווים זה מזה, הכניסה אל התא נעשית כאשר התא נמצא בתחתית הגלגל וכך גם היציאה ממנו. קוטר הגלגל הוא 10 מ', והוא נמצא בגובה של מטר אחד מעל פני האדמה. לפניכם סקיצה של הגלגל. האותיות הרשומות מתארות את התאים.  אמיר עלה על הגלגל והתיישב בתא A שבתחתית הגלגל. לפניכם גרף המתאר את הגובה שבו נמצא אמיר מעל פני האדמה (h) כפונקציה של זמן t במשך סיבוב אחד שלם. |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
 א. מה הגובה ההתחלתי של אמיר? ב. האם יש רגעים שונים בהם אמיר נמצא באותו גובה? ציינו דוגמה. ג. בהסתמך על הגדרת הפונקציה, האם הגרף מייצג פונקציה? נמקו. |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
3. בדקו בכל אחד מהגרפים האם הוא מייצג פונקציה? נמקו את תשובתכם. |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
| 1. דנה בונה מגדלים מקוביות. מספר הקוביות הדרוש לבניית מגדל (נסמן ב-N) תלוי במספר הקומות של המגדל (נסמן ב-k) לפי הנוסחה: א. כמה קוביות דרושות לדנה כדי לבנות מגדל בעל 8 קומות? ב. לדנה יש 31 קוביות. הציגו דרך חישוב. מהו מספר הקומות המקסימלי שהיא יכולה לבנות במגדל אחד? 2. כאשר נהג לוחץ על הבלמים, המכונית ממשיכה לעבור מרחק מסוים עד לעצירה מוחלטת. מרחק הבלימה (נסמן ב-d, במטרים) תלוי במהירות שבה נסעה המכונית (נסמן ב-v, בקמ"ש) לפי הנוסחה: א. מכונית נסעה במהירות של 100 קמ"ש. מהו מרחק הבלימה שלה מרגע הלחיצה על הבלמים? הציגו דרך חישוב. | ייצוג אלגברי של פונקציה בהקשר מעשי יש להתחיל מפונקציות שמתארות מצבים מעשיים בהקשרים שונים כהרחבה של הנושא ביטויים אלגבריים בכיתה ז. הפונקציות במקרה הזה יהיו מוגדרות עבור ערכים חיוביים בלבד. יש להתמקד במצבים הבאים:
| פונקציה בייצוג אלגברי |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
| 3. אמיר מפיל כדור מראש צוק. את גובה הצוק (נסמן ב-h) ניתן לחשב במטרים באמצעות הנוסחה: כאשר t מייצג את מספר השניות שלוקח לכדור להגיע לקרקע. אם לכדור נדרשות 4 שניות להגיע לקרקע, חשבו את גובה הצוק. הציגו דרך החישוב. 4. המרת מעלות חום (צלזיוס ופרנהייט) בעולם המדע, ובמדינות כמו ארה"ב, מודדים טמפרטורה במעלות פרנהייט (F). הקשר בין מעלות פרנהייט למעלות צלזיוס (C) המוכרות לנו בישראל מחושב לפי הנוסחה המדויקת:
| התלמידים יבינו מהו ההבדל המעשי בין המשתנה הבלתי תלוי לבין ערך הפונקציה (משתנה תלוי). ייצוג אלגברי של פונקציה ללא הקשר מעשי התלמידים יתמקדו בפונקציות ייצוג אלגברי נתון. התלמידים יבינו מהו המשתנה הבלתי תלוי בתבנית ומהו המשתנה התלוי. |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
| 5. דופק מרבי באימון גופני ספורטאים משתמשים בנוסחה כדי לחשב את "הדופק המרבי" המומלץ להם בזמן מאמץ (כדי לשמור על בריאות הלב). הנוסחה לחישוב דופק מרבי (M) לפי גיל המתאמן (x) היא:
| התלמידים ידעו למצוא את ערך הפונקציה באמצעות הצבה של המשתנה הבלתי תלוי. הפונקציות בשלב הזה יהיו מוגדרות לכל המספרים. | |
| דוגמאות: 1. הגרף שבשרטוט עולה בקטע AB. באיזה קטע הגרף יורד ובאיזה קטע הוא קבוע?  | הגרף עולה (יורד) בתחום אם הערך של y גדול (קטן) יותר ככל שהערך של x גדול יותר, לכל x בתחום הזה. | עלייה וירידה של פונקציה על סמך קריאה מהייצוג הגרפי |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
| 2. שרטטו גרף של פונקציה, כשמשיכת כלי הכתיבה כל הזמן לכיוון ימין. סמנו במרקר צהוב את התחום שבו הגרף עולה ובמרקר ירוק את התחום שבו הוא יורד. 3. התבוננו בגרף המתאר את מליחות מים בכנרת. סמנו במרקר צהוב את התחום שבו הגרף עולה ובמרקר ירוק את התחום שבו הוא יורד.  | דגשים:
|
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
4. לפניכם גרף המתאר את הטמפרטורה שנמדדה באטמוספרה בעזרת בלון. הנתונים נלקחו משרות מזג האוויר העולמי. התבוננו בגרף וסמנו במרקר כחול את התחום שבו הוא עולה ובמרקר אדום את התחום שבו הוא יורד. 5. התבוננו בגרף המתאר את גובהו של נער מעל האדמה בזמן שהוא מסתובב שני סיבובים בגלגל ענק. סמנו במרקר צהוב את התחום שבו הגרף עולה ובמרקר ירוק את חלקי הגרף שבהם הוא עולה. |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
1. משאית יצאה בשעה 6:00 מאילת לקריית שמונה (המרחק בין הערים כ-600 ק"מ). באותה השעה יצאה משאית אחרת מקריית שמונה לכיוון אילת. האיור מציג גרפים המתארים את המרחק מאילת של שתי המשאיות בזמנים שונים. א. בגרף מסומנות 4 נקודות. הסבירו מה מתארות נקודות אלה. ב. באיזו שעה ובאיזה מרחק מאילת נפגשו המשאיות? 2. הגרפים שלפניכם מתארים את המחירים בש"ח (y) בהתאם למשקל החבילה בק"ג (x) בכל אחת מחברות המשלוחים חברת "הצבי" וחברת "איילה". | חשיבה כמותית ולוגית מעבר בין ייצוגים שונים הַקְשָרָה למציאות ומידול מתמטי אוריינות מתמטית קריאה והבנה של מלל קצר ופשוט קריאת גרף וסרטוט גרף ביצוע ויישום הנמקה והצדקה החלק הזה מהווה הכנה ויצרת בסיס אינטואיטיבי (הבנה חזותית של תופעות עם קצב שינוי קבוע) לקראת לימוד פונקציה לינארית ומשוואת ישר. | תיאור גרפי של תופעות לינאריות – קריאת מידע מגרף ליניארי |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
| א. מהו משקל החבילה (בק"ג) שבעבורו יהיה המחיר בחברת "הצבי" שווה למחיר בחברת "איילה"? ב. מהו המחיר (בש"ח)? ג. מהו המחיר של חבילה שמשקלה 2.5 ק"ג בכל אחת מהחברות? (תנו אומדן) |  דגשים:
|
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
| 3. מחיר דלק הוא 7 שקלים לליטר. נתון גרף המתאר את העלות של כמויות שונות של דלק. א. עבור אילו כמויות של דלק העלות גבוהה מ-70 שקלים? סמנו על ציר x (במרקר) את תחום זה. ב. עבור אילו כמויות של דלק העלות נמוכה מ-35 שקלים? סמנו על ציר x (במרקר שונה) את תחום זה.  |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
4. הגרף שלפניכם מציג את המרחק של יואב מנקודת יציאה כאשר רכב על האופניים. א. רשמו את שיעורי הנקודות A, B, C, D. ב. התאימו לכל מקטע נסיעה את התיאור המתאים לה:A ל-B יואב נח במשך 10 דקותB ל-C יואב רוכב מרחק של 1 ק"מ במשך 10 דקותC ל-D יואב רוכב מרחק של 3 ק"מ במשך 10 דקותD ל-E יואב רוכב מרחק קטן מ-1 ק"מ במשך 10 דקות |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי | ||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
5. לפניכם טבלת ערכים, עם הגרף המתאים. דרך נקודות הגרף יכול לעבור קו ישר.
 א. העבירו את הגרף (הישר) וסמנו על גבי הגרף את הנקודות המתאימות לערכי x הנתונים, כך שתהיינה על הקו הישר: x=-1.5, x=-0.5, x=0.5, x=1.5, x=2.5 ב. היעזרו בסרטוט ורשמו את שיעורי ה-y של הנקודות שסימנתם על גבי הגרף. |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
6. אקווריום היה מלא במים. רוקנו את המים בקצב של 2 מ"ק לדקה. הגרף משמאל מתאר את כמות המים במכל בהתאם לזמן שחלף.
|
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
| 7. בשיעור מדעים חיממו בשני סירים כמות שווה של מים עד לרתיחתם. הטמפרטורה ההתחלתית של המים בכל אחד מהסירים הייתה 25°C. המים שבסיר א' התחממו בקצב קבוע של 10°C בדקה. המים שבסיר ב' התחממו בקצב קבוע של 16°C בדקה. סמנו באיזה סרטוט מהסרטוטים שלפניכם מתוארים הגרפים של טמפרטורת המים (ב-°C) בכל אחד מהסירים, בהתאם לזמן חימום המים (בדקות) עד לרתיחתם.  |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
| 8. במעבדה נערך ניסוי עם שני רובוטים חדשים, "גאמא" ו"דלתא". הגרף הבא מתאר את המרחק של כל רובוט מנקודת ההתחלה (d, במטרים) בהתאם לזמן שחלף (t, בשניות). עיינו בגרף וענו על השאלות שאחריו. הקו הרציף מתאר את תנועת הרובוט גאמא. הקו המקווקו מתאר את תנועת הרובוט דלתא. 
|
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
9. הגרפים שלפניכם מתארים את המרחק מחיפה (בק"מ) של כל אחת מהמכוניות בהתאם לזמן הנסיעה שלה (בדקות). |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
| סמנו ב-☒ ליד כל טענה אם היא נכונה או לא נכונה. טענה נכונה לא נכונה 1. 3. המכונית מסוג "רעם" נסעה זמן קצר יותר מהמכונית מסוג "ברק". 4. המכונית מסוג "רעם" נסעה במהירות נמוכה יותר מהמכונית מסוג "ברק". המכונית מסוג "רעם" יצאה מבאר-שבע. 2. שתי המכוניות נפגשו באמצע הדרך. |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
| 10. יצחק ושלומית רכבו על אופניים מראשון לציון. שלומית רכבה במהירות קבועה לאורך כל המסלול, ואילו יצחק רכב בחלק הראשון של המסלול במהירות מסוימת, ובחלק השני רכב במהירות אחרת. הם רכבו באותו מסלול. בגרפים שלפניכם מתוארים המרחקים מראשון לציון (בק"מ) שעברו הרוכבים בין השעות 10:00 ל-15:00.  א. סמנו ליד כל טענה בטבלה שלפניכם אם היא נכונה או אינה נכונה. הטענה נכונה אינה נכונה 1. זמן הרכיבה של יצחק עד נקודת המפגש היה ארוך יותר מזמן הרכיבה של שלומית עד נקודת המפגש. 2. כעבור 4 שעות רכיבה, המרחק שעבר יצחק היה קצר יותר מהמרחק שעברה שלומית. |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
11. היא משוואה הקושרת בין שיעורי x לבין שיעורי y של נקודות על הישר שבסרטוט. הנקודות A, B נמצאות על הישר. מהם שיעורי הנקודות A ו-B? 12. לפניכם מערכת צירים ובה מסורטטים הישרים f ו-g.  א. מצאו את שיעורי הנקודות A, B, C שעל הישרים. ב. עבור x=-5, מהו שיעור ה-y של הנקודה המונחת על הישר f? ג. עבור y=4, מהו שיעור ה-x של הנקודה המונחת על הישר g? ד. עבור אילו ערכים של x, שיעורי ה-y של נקודות על הישר g גדולים משיעורי ה-y של נקודות על הישר f? |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי | ||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
13. נתונה טבלת הערכים הבאה:
א. סרטטו על מערכת צירים את הישר המתאים לערכים בטבלה (על פי שלוש נקודות ששיעוריהן רשומים בטבלה), כך שיחתוך את שני הצירים. ב. בעזרת הגרף השלימו את המשבצות הריקות בטבלה. ג. מהם שיעורי הנקודה על הישר שבה הוא חותך את ציר x? |
משימה אוריינית מסכמת
יורדים ברכבל
לפניכם מפה טופוגרפית של הר.
מפה טופוגרפית היא מפה בה מחוברות בקו כל הנקודות הנמצאות באותו גובה (במטרים) מעל פני הים.
הגובה מצוין על גבי המפה.
ההר מתחיל במישור שגובהו 50 מ' מעל פני הים.
בצדו המערבי של ההר נבנה רכבל, היורד מראש ההר אל תחתיתו ועולה חזרה.
שימו לב! הרכבל אינו מגיע לגובה פני הים.
נניח שהכבל שעליו נוסעת הקרונית הוא מתוח וישר.
בעת הירידה מן ההר, הקרונית שברכבל מאבדת גובה בשיעור של 0.5 מטר בכל שנייה.
שאלה 1 כמה דקות תימשך ירידתה של קרונית מראש ההר אל תחתיתו?
שאלה 2 לפניכם גרפים המתארים את גובה הקרונית מעל פני הים, בהתאם לזמן.
בחרו את הגרף המתאים למטיילים היורדים ברכבל מראש ההר אל תחתיתו.
שאלה 3 יעל ירדה בקרונית הרכבל.
באיזה גובה מעל פני הים היא הייתה לאחר דקה של ירידה?
שאלה 4 בחרו את ההיגד הנכון.
נמקו את בחירתכם:
א. מהירות הנסיעה של הקרונית בירידה היא 0.5 מטר לשנייה. ב. מהירות הנסיעה של הקרונית בירידה גדולה מ-0.5 מטר לשנייה. ג. מהירות הנסיעה של הקרונית בירידה קטנה מ-0.5 מטר לשנייה.
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
| דוגמה לשינוי בקצב אחיד: הטמפרטורה של נוזל היא 8°C. מחממים את הנוזל בקצב אחיד כך שהטמפרטורה שלו תהיה 58°C כעבור 5 דקות. א. בכמה מעלות מתחמם הנוזל בכל דקה? ב. שרטטו גרף המתאר את התחממות הנוזל במשך 9 דקות. ג. מה תהיה הטמפרטורה אחרי 3 דקות? ד. אחרי כמה דקות תהיה הטמפרטורה 78°C? | חשיבה כמותית ולוגית חשיבה ביקורתית מעבר בין ייצוגים שונים הכללה והפשטה הַקְשָרָה למציאות ומידול מתמטי אוריינות מתמטית קריאה והבנה של מלל קצר ופשוט קריאת גרף ביצוע ויישום הנמקה והצדקה | מושג קצב שינוי, קצב שינוי אחיד וקצב שינוי לא אחיד של פונקציה, שיפוע של ישר |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
| דוגמה לשינוי בקצב שאינו אחיד: הגרף הבא מתאר ריכוז של תרופה בדם לאורך זמן. הריכוז עולה כמעט מיידית עם הזרקת התרופה, והוא יורד במשך הזמן עם פינוי התרופה מהגוף (הערה: העלייה המהירה בריכוז התרופה מתוארת בגרף בקווים מעט מאונכים). 
| קצב שינוי בגרף של פונקציה הוא היחס שבין השינוי בערכי ה-y לבין השינוי בערכי ה-x שלו. אם אותו היחס מתקבל לכל שני ערכים שונים של x, אז קצב השינוי הוא אחיד. בכל מקרה אחר – פונקציה משתנה בקצב שאינו אחיד. דגשים: יש לתת דוגמאות לגרפים מציאותיים שבהם קצב השינוי אחיד וגם לתת דוגמאות לגרפים שבהם קצב השינוי אינו אחיד. |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
| דוגמאות: 1. הנתונים הבאים לקוחים מספר הוראות לבנייה תקנית ובטיחותית של גרמי מדרגות.   
| יש להכיר את משמעות של שיפוע ישר מתוך טבלת ערכים עם הפרשים שווים של המשתנה הבלתי תלוי ומתוך הגרף. יש להדגיש את הקשר בין שיפוע ישר לבין קצב שינוי אחיד. יש ללמוד את המשמעות של השיפוע של ישר (היחס שבין שינוי של y לבין שינוי של x) ויש לדעת כי בחירת נקודות למציאת השיפוע אינה משפיע על ערכו (כיוון שמתקבלת פרופורציה). |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
| 2. אראל בודק מדי כמה ימים את מספר העוקבים בחשבון האינסטגרם שלו. לאחרונה, החליט לרשום את מספר העוקבים היומי ולעקוב אחר קצב השינוי. (אראל נוהג לבדוק בסוף יום). לפניכם רישומיו של אראל:
א. סדרו בטבלת הערכים את התוצאות שקיבל אראל: ב. מהו השינוי במספר העוקבים של אראל מהיום ה-4 ליום ב-5? מהו השינוי במספר העוקבים של אראל מהיום ה-6 ליום ב-7? מספר היום מספר העוקבים (____ תוספת עוקבים ליום) ג. (____ תוספת עוקבים ליום) ד. בידקו את קצב השינוי במספר העוקבים של אראל בימים אחרים המופיעים בטבלה. האם קצב השינוי במספר העוקבים של אראל הוא אחיד? | יש ללמוד שלישרים מקבילים בעלי שיפוע, יש אותו קצב שינוי, כלומר, אותו שיפוע. יש לקשר בין סימן השיפוע לבין העלייה או הירידה של הישר המתאים (פונקציה ליניארית מתאימה). השיפוע של ישר אופקי הוא אפס. מומלץ לפתח יכולת לאמוד את גודלו של השיפוע מתוך התבוננות בגרף. |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי | ||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3. הנקודות: , נמצאות על ישר עולה. רשמו ערך אפשרי שיכול להיות ערכו של k. 4. נתון ישר העובר דרך הנקודות ששיעוריהן . האם הישר מייצג פונקציה עולה, פונקציה יורדת או פונקציה קבועה? 5. א. השלימו את הטבלה שלפניכם כך שתתאים לשיעורי הנקודות שנמצאות על אותו קו ישר.
ב. מהו השיפוע של הישר המתאים לטבלה זו? | כאשר ערכו המוחלט של שיפוע הישר קטן מ-1, קצב השינוי מתון. הזווית החדה שיוצר הישר עם ציר x קטנה מ-45°. כאשר ערכו המוחלט של שיפוע הישר גדול מ-1, קצב השינוי תלול. הזווית החדה שיוצר הישר עם ציר x גדולה מ-45°. יש להדגים זאת בעזרת יישומונים דינמיים. מציאת שיפוע ישר על פי שיעורי שתי נקודות שנמצאות על ישר. |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
6. האקווריום היה מלא במים עד הקצה. רוקנו את המים מהאקווריום. בגרף שלפניכם מתוארת כמות המים באקווריום מתחילת התהליך שבו רוקנו את המים ועד סופו. השלימו את המשפט שלפניכם: רוקנו את המים מהאקווריום בקצב של ________ מ"ק בדקה. | יש להיעזר בישומונים דינמיים להמחשה, להתנסות מוחשית ולמשימות חקר. יושם דגש על שיפוע המתאר מצב מציאותי כגון מהירות, קצב עבודה ועוד. |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
| 7. נתון גרף של ישר (פונקציה ליניארית): א. בנו טבלת ערכים חלקית הכוללת 5 נקודות המונחות על הישר. ב. מהו קצב שינוי (השיפוע) של הישר? |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
8. לפניכם מערכת צירים, ועליה 6 נקודות, שניתן להעביר דרכן ישר. א. מצאו את השיפוע שבין הנקודות A ו-B. ב. מצאו את השיפוע שבין הנקודות B ו-C. ג. מצאו את השיפוע שבין הנקודות C ו-F. ד. מצאו את השיפוע שבין הנקודות E ו-B. ה. האם תוכלו להכליל לגבי השיפוע בין כל שתי נקודות שעל הישר? |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
| 9. בסרטוט שלפניכם הנקודות A ו-B נמצאות על ישר ששיפועו 3. כתבו את דרך הפתרון. השלימו את השיעור החסר של הנקודה B.  |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
10. לפניכם מערכת צירים ובה מסורטטים הישרים f ו-g. מהו השיפוע של כל אחד מהישרים? |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
11. על מערכת הצירים שלפניכם מסומנות נקודות. ישר מסוים עובר דרך הנקודה והשיפוע שלו הוא 2. איזו נקודה מהנקודות שלפניכם נמצאת על הישר? |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
12. בסרטוט שלפניכם מסורטטים שני הישרים מקבילים שהם גרפים של שתי פונקציות ליניאריות f ו-g. א. מהו השיפוע של הישר f? ב. מהו השיפוע של הישר g? 13. שלושה חברים רצו לחשב את שיפוע הישר העובר דרך שתי הנקודות , . לפניכם דרך החישוב של כל אחד מהילדים: הדרך של אלון הדרך של מיכל הדרך של הילה אחד הילדים שגה בדרך הפתרון. מי מבין שלושת הילדים שגה בדרך פתרון? הסבירו מדוע. |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
| 14. יובל סרטטה גרף של ישר עולה. הגרף עובר בנקודה ובנקודה נוספת מהנקודות שלפניכם. סמנו את הנקודה הנוספת. 15. ישר עובר דרך נקודה A, ונקודה נוספת.  א. אם הישר עולה, מה יכולות להיות הנקודות המסומנות שדרכן הוא עובר? ב. בחרו אחת הנקודות שסימנתם. מהו השיפוע שבין A, לבין הנקודה הנוספת, והאם הוא חיובי או שלילי? ג. אם הישר יורד, מה יכולה להיות הנקודה המסומנת שדרכה הוא עובר? ד. מהו השיפוע שבין A לבין הנקודה הנוספת, והאם הוא חיובי או שלילי? ה. מהו השיפוע הישר שעובר דרך הנקודות Q ו-A? |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
16. בגרף שמשמאל מסורטטים 4 ישרים עולים: f, g, h, p. ו. קבעו למי מהם שיפוע גדול מ-1, ולמי שיפוע קטן מ-1. ז. קבעו, במידת האפשר את הגודל של כל שיפוע. 17. בגרף שמשמאל מסורטטים 3 ישרים יורדים: q, r, s. 
|
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
18. בר יצא מנתניה לאימון רכיבה על אופניים. הגרף שלפניכם מתאר את הרכיבה של בר. א. מה הייתה מהירות הרכיבה של בר בקמ"ש?
ב. נוגה יצאה מנתניה לאימון ריצה. היא רצה במהירות הקטנה ב-50% ממהירות הרכיבה של בר. סרטטו במערכת הצירים שבסעיף א את הגרף המתאר את הריצה של נוגה. |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
| 19. יצחק ושלומית רכבו על אופניים מראשון לציון. שלומית רכבה במהירות קבועה לאורך כל המסלול, ואילו יצחק רכב בחלק הראשון של המסלול במהירות מסוימת, ובחלק השני רכב במהירות אחרת. הם רכבו באותו מסלול. בגרפים שלפניכם מתוארים המרחקים מראשון לציון (בק"מ) שעברו הרוכבים בין השעות 10:00 ל-15:00. 
|
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
| היא התחילה לרוץ, אך אחרי זמן מה התעייפה ועברה להליכה. 20. אפרת השתתפה בפעילות ספורטיבית שכללה ריצה לאורך מסלול. לאחר מכן המשיכה שוב בריצה עד נקודת הסיום. הגרף שלפניכם מתאר את מהלך הפעילות הספורטיבית של אפרת מנקודת ההתחלה ועד נקודת הסיום.  א. המרחק שעברה אפרת בחלק I של הריצה היה שווה למרחק שעברה בחלק III של הריצה. באיזה מהחלקים שלפניכם הייתה מהירות הריצה של אפרת גדולה יותר? |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
הסבירו את תשובתכם. ב. גלית השתתפה אף היא בפעילות הספורטיבית. היא יצאה לריצה באותו זמן שבו יצאה אפרת ורצה באותו מסלול. סרטטו במערכת הצירים שלמעלה דוגמה לגרף המתאר את מהלך הריצה של גלית מנקודת ההתחלה ועד נקודת הסיום. גלית רצה במהירות קבועה והגיעה לנקודת הסיום לפני אפרת. |
שאלה אוריינית
תדלק וסע
בתחנות דלק משלמים, לאחר השעה 8 בערב, תוספת קבועה עבור שירות לילה.
תחנות הדלק 'כנרת' ו'ירקון' הן שתי תחנות קרובות, אבל להן תעריפים שונים:
בתחנת הדלק 'ירקון' הציגו את התעריפים באופן הבא:
תשלום יום:
(מספר ליטרים דלק) · 2.50 + 5.00 תשלום לילה: (מספר ליטרים דלק) · 5.00
בתחנת הדלק 'כנרת' הציגו את התעריפים באופן הבא:
תשלום יום:
(מספר ליטרים דלק) · 6.50 תשלום לילה: (מספר ליטרים דלק) · 4.80 + 4.80
שאלה 1. הסבירו מה מייצגים המספרים 4.80 ו-6.50 המופיעים בתעריפים של תחנת הדלק 'כנרת'.
שאלה 2. לפניכם שלוש סקיצות של זוגות גרפים.
התאימו סקיצה לכל אחד מן התיאורים שבהמשך השאלה, ונמקו את ההתאמה.
א. מהי הסקיצה שהגרפים בה מתארים את תעריפי התשלום באחת התחנות בשעות היום ובשעות הלילה? ב. מהי הסקיצה שהגרפים בה מתארים את תעריפי התשלום בשתי תחנות הדלק בשעות היום? ג. מהי הסקיצה שהגרפים בה מתארים את תעריפי התשלום בשתי תחנות הדלק בשעות הלילה?
הסבירו מדוע בחרתם להתאים סקיצה זו לתיאור; הסבירו מדוע התחום של הגרפים כולל רק כמויות דלק הגדולות מאפס. הסבירו מדוע בחרתם להתאים סקיצה זו לתיאור; הסבירו מדוע התחום של הגרפים כולל רק כמויות דלק הגדולות מאפס. הסבירו מדוע בחרתם להתאים סקיצה זו לתיאור; הסבירו מדוע התחום של הגרפים כולל רק כמויות דלק הגדולות מאפס.
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי | ||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| דוגמאות: 1. לפניכם טבלת ערכים של פונקציה:
א. סרטטו את הנקודות על מערכת צירים ובידקו האם ניתן להעביר דרכן ישר. ב. האם טבלה זו מתארת קצב שינוי קבוע של פונקציה? ד. מהם ערכי ה-y של הנקודות על הישר כאשר x=12 או כאשר x=-2? נמקו את תשובתכם. ג. מהו קצב השינוי? 2. נתונה המשוואה . א. בנו טבלת ערכים חלקית שבה 5 נקודות. ד. מהו ערך ה-y של הנקודה על הישר כאשר x=0? ה. בעבור איזה ערך של x ערך ה-y הוא אפס? ב. סרטטו את הגרף של הישר המתאים. ג. מהו קצב השינוי (השיפוע) של הישר? | חשיבה כמותית ולוגית חשיבה ביקורתית מעבר בין ייצוגים שונים הכללה והפשטה הַקְשָרָה למציאות ומידול מתמטי אוריינות מתמטית קריאה והבנה של מלל קצר ופשוט קריאת גרף וסרטוט גרף ביצוע ויישום הנמקה והצדקה | ייצוג אלגברי של פונקציה ליניארית - משוואת הישר, התאמת ישר למשוואתו והתאמת משוואה לישר |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
| 3. נתונה משוואת הישר . א. מבין שתי הנקודות הבאות, סמנו את הנקודה הנמצאת על גרף הישר: נמקו את בחירתכם. ב. רשמו שיעורי נקודה נוספת הנמצאת על גרף הישר. 4. נתונה משוואת הישר . א. על גרף הישר נתונה נקודה ששיעור x שלה הוא 4. חשבו את שיעור y של הנקודה. ב. האם הנקודה נמצאת על גרף הפונקציה? הסבירו. 5. נתונה משוואת הישר . א. השלימו את שיעורי הנקודות הבאות הנמצאות על גרף הישר: ב. רשמו שיעורי נקודה שאינה נמצאת על הישר. | בפרק זה נעשית האחדה בין שלושה היבטים של ישר: קצב השינוי הוא אחיד, הגרף שלה הוא קו ישר, הייצוג האלגברי של הוא מהצורה . דגשים: יש לפתוח בדוגמאות שבהן קצב השינוי אחיד (טבלאות ערכים וגרפים) וללמוד שכל גרף שבו קצב השינוי הוא אחיד ניתן לייצוג באמצעות משוואה מהצורה . |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
| 6. שלוש הנקודות הבאות נמצאות על ישר אחד: סמנו את הישר שעליו נמצאות שלוש הנקודות: 7. נתונה משוואת הישר . א. מהו ערך ה-y כאשר x=0? ב. מהו ערך ה-x כאשר y=0? ג. סמנו על מערכת צירים את שתי נקודות החיתוך של הישר עם הצירים. ד. סרטטו את הישר המתאים. 8. נתונה משוואת הישר . מהן נקודות החיתוך של הישר עם הצירים? התאימו את הגרף המתאר את הישר המתאים. | יש לזהות את ערכו של שיפוע ישר כמקדם של x במשוואה הנ"ל. יש לקשר בין המקדם החופשי במשוואה () לבין נקודת החיתוך של הישר עם הציר האנכי בייצוג הגרפי. יש להתאים ייצוג אלגברי של הפונקציה הליניארית לנתונים המופיעים בטבלה, ולסרטט את הגרף שלה. יש לזהות שיעורי נקודות המונחות על ישר על סמך משוואת הישר. |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
 יש להתאים ישר במערכת הצירים למשוואתו בעזרת נקודות החיתוך שלו עם הצירים (כאשר יש כאלה). יש להתאים ישר נתון במערכת הצירים למשוואתו בהסתמך על שני המאפיינים של משוואת הישר: המקדם של x הוא שיפוע הישר. האיבר החופשי מציין את ערך ה-y של נקודת החיתוך עם הציר האנכי. סרטוט ישר על סמך משוואתו, בהסתמך על שני המאפיינים של משוואת הישר: המקדם של x הוא שיפוע הישר, והאיבר החופשי, מציין את ערך ה-y של נקודת החיתוך עם הציר האנכי. |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
| 9. לפניכם 4 משוואות של ישרים: לפניכם רשימה של תכונות. רשמו לצד כל תכונה את המשוואה המתאימה לישר המתואר. א. ישר עולה החותך את ציר y בחלקו השלילי ____________ ב. ישר העובר בראשית הצירים ____________ ג. ישר יורד ____________ שיפוע הישר הוא 0 ____________ ד. | מציאת משוואת ישר על סמך שיפוע הישר, ונקודה שעליו. מציאת משוואת ישר על סמך שתי נקודות שבהן הוא עובר. יש לקשר את האקסיומה שבין שתי נקודות עובר קו ישר אחד, לכך שמתקבלת משוואה יחידה של ישר בין שתי הנקודות. לישר עם שיפוע שאיננו אפס יש תחום חיוביות ותחום שליליות. יש לזהות אותם בעזרת מציאת נקודת חיתוך הישר עם ציר x (נקודות אפס) והתבוננות בגרף. |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
10. לפניכם ארבעה גרפים של פונקציות ליניאריות וארבע משוואות. התאימו לכל משוואה את הגרף המתאים. |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
| 11. נתונה משוואת הישר . א. מהי נקודת החיתוך של הישר עם הציר האנכי? ב. האם הישר עולה או יורד? ג. סמנו, על סמך נקודת החיתוך של הישר עם הציר האנכי, ועל סמך השיפוע, שתי נקודות נוספות שנמצאות על הישר, מימין ומשמאל לציר האנכי. מהי נקודת החיתוך שלו עם הציר האופקי? מהו השיפוע של הישר? ד. סרטטו את הישר המתאים. 12. לפניכם משוואות של 4 ישרים: , , , א. סמנו את המשוואה שהישר המתאים לה יורד. ב. סמנו את המשוואה שהישר המתאים לה אינו יורד ואינו עולה. ג. סמנו את המשוואה שהישר המתאים לה עולה. ד. סמנו את המשוואה שהישר המתאים לה אינו חותך את ציר ה-x. |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
| 13. נתונה המשוואה . א. סרטטו את הישר. ב. מהן נקודות החיתוך של הישר עם הצירים? ג. מצאו את ההפרש בין שיעורי ה-y של נקודות החיתוך עם הצירים, מצאו את ההפרש בין שיעורי ה-x של נקודות החיתוך עם הצירים, ומצאו את היחס ביניהם. מה הקשר בין המספר שקיבלתם למשוואת הישר? 14. לפניכם 5 משוואות של ישרים. התאימו לכל משוואה את אחד הישרים שמשמאל. רשמו ליד כל משוואה את האות של הישר המתאים.  |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
| 15. במערכת הצירים שלפניכם מסורטטים המשולשים ADC ו-ABC.  א. נתונה משוואת הישר . איזו צלע נמצאת על גרף הישר שמשוואתו נתונה? ב. מה משוואת הישר עליו נמצאת הצלע AC? 16. לפניכם ארבע משוואות של ארבעה ישרים: רק שלושה מבין ארבעת הישרים מקבילים. |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
17. לפניכם ארבעה שרטוטים של ישרים.  עבור כל ישר, רשמו מהם ערכי ה-x שעבורם שיפוע הישר הוא גדול ביותר ושיפוע הישר הקטן ביותר? |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
18. לפניכם שני קטעים המסורטטים על מערכת צירים, היוצרים עם הצירים שני משולשים ישרי זווית. אורכי הניצבים בשני המשולשים יוצרים את הפרופורציה הבאה: ב. קבעו לגבי כל קטע AB ו-CD, האם הישר המונח עליו הוא ישר עולה או יורד. ג. קבעו (ללא חישוב) לאיזה ישר מבין שני הישרים הללו יש שיפוע גדול יותר ולאיזה ישר שיפוע קטן יותר. בדקו את תשובתכם בעזרת חישובי שיפועי הישרים. א. מצאו את שיעורי הנקודה B. |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
| שאלות אורייניות שונות 1. בשיעור מדעים חיממו בשני סירים כמות שווה של מים עד לרתיחתם. הטמפרטורה ההתחלתית של המים בכל אחד מהסירים הייתה 25°C. המים שבסיר א' התחממו בקצב קבוע של 10°C בדקה. המים שבסיר ב' התחממו בקצב קבוע של 16°C בדקה.  בסרטוט מוצג הגרף המתאר את טמפרטורת המים (ב-°C) בכל אחד מהסירים, בהתאם לזמן חימום המים (בדקות) עד לרתיחתם. כתבו משוואה המתארת את טמפרטורת המים (ב-°C) בסיר א' בהתאם לזמן חימום המים (בדקות) עד לרתיחתם. |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
2. הגרפים שלפניכם מתארים את המחירים בש"ח (y) בהתאם למשקל חבילה בק"ג (x) בכל אחת מחברות המשלוחים. סמנו את המשוואה המתארת את המחיר בש"ח (y) בהתאם למשקל החבילה בק"ג (x) בחברת "הצבי". גם חברת "יונה" גובה תשלום התחלתי ותשלום בעבור משקל החבילה בק"ג. אלעד בדק מחירים גם בחברת "יונה" ומצא שלא משנה מה יהיה משקל החבילה, המחיר שישלם לחברת "יונה" יהיה גבוה יותר מהמחיר שישלם לכל אחת משתי החברות האחרות. כתבו דוגמה למשוואת ישר המתארת את המחיר בש"ח (y) בהתאם למשקל החבילה בק"ג (x) בחברת "יונה". |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
3. הגרף שלפניכם מתאר את הקשר בין גובה של עצים ובין אורך הצל בשעה 11:00 בבוקר. א. מהו אורך הצל של עץ שגובהו 10 מטרים? ב. מהי משוואת הישר המתאר את אורך הצל (במטרים, y) כפונקציה של גובה העץ (במטרים, x)? |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
| 4. חברת תעופה גובה תוספת תשלום על משקל עודף של מזוודות. במערכת הצירים שלפניכם שני הגרפים מתארים את התשלום בדולרים (y) כפונקציה של המשקל העודף בק"ג (x). גרף א מייצג את חברת התעופה "שחק". גרף ב מייצג את חברת התעופה "מרום".  א. השלימו את משוואות הישר (הייצוג האלגברי) של כל אחד מהישרים המוצגים במערכת הצירים. 1. חברת "שחק": 2. חברת "מרום": ביום הטיסה כל דולר היה שווה 4 ש"ח. ב. אלעד טס באחת מחברות התעופה האלה ולקח אתו מזוודה שהמשקל העודף שלה היה 12 ק"ג. כמה ש"ח חסך אלעד על המזוודה אם הוא טס בחברת התעופה שבה המחיר על המזוודה היה נמוך יותר? כתבו את דרך הפתרון. |
שאלות סיכום
1. צח כשלג
בשכונת הגפן נפתחה מכבסה חדשה בשם: 'צח כשלג'.
בעל המכבסה חישב ומצא כי הוצאותיו הקבועות ליום הן 100 ש"ח, וההוצאות עבור כל קילוגרם של כביסה הן 1.5 ש"ח.
עם פתיחת המכבסה החדשה, וכדי למשוך לקוחות, קבע בעל המכבסה מחירים זולים מאוד.
הוא קבע כי עבור כל קילוגרם כביסה הלקוח ישלם 4 ש"ח.
שאלה 1. מבין 4 הגרפים שלמעלה, אחד הגרפים מתאר את הוצאות המכבסה, ואחד הגרפים מתאר את הכנסותיה.
קבעו איזה גרף מתאים לכל תיאור.
שאלה 2. כמה קילוגרמים של כביסה, לפחות, צריך בעל המכבסה לקבל מדי יום כדי שלא יפסיד?
שאלה 3.
א. מה יהיה הרווח היומי של בעל המכבסה, אם יביאו לו 60 ק"ג כביסה ביום?
ב. כמה ק"ג של כביסה צריך בעל המכבסה לקבל ביום, כדי להרוויח 100 ש"ח?
2. נבו מסתפר
לפניכם גרף המתאר את אורך השיער של נבו במהלך שנת 2004. ידוע כי נבו לא הסתפר בתחילת השנה הזאת, ולא בסופה.
שאלה 1. כמה פעמים הסתפר נבו במשך השנה?
(סמנו את התשובה הנכונה)
א. פעם אחת ב.
ארבע פעמים ג.
חמש פעמים ד.
אי אפשר לדעת.
שאלה 2. מהו משך הזמן הארוך ביותר בשנה זו שבו נבו לא הסתפר?
שאלה 3. מהו אורך השיער המקסימלי אליו הגיע נבו?
(סמנו את התשובה הנכונה)
- א. 4 ס"מ
- ב. 5 ס"מ
- ג. 8 ס"מ
- ד. 10 ס"מ.
שאלה 4. הסבירו כיצד כל הקטעים שבגרף מקבילים?
שאלה 5. באיזה קצב גדל השיער של נבו?
(שימו לב ליחידות)
שאלה 6. מהי משוואת הישר שעליו מונח הקטע המתאר את אורך השיער של נבו בין 4 ל-6 חודשים?
3. שחיינים
שני שחיינים שוחים בבריכה שאורכה 30 מ'.
השחיינים שוחים מקצה אחד של הבריכה אל הקצה השני ובחזרה, שלוש פעמים.
אבי שוחה במהירות של 1.5 מ' לשנייה, ובן שוחה במהירות של 1 מ' לשנייה.
אבי ובן החלו לשחות בו זמנית.
לפניכם גרף המתאים לזמן השחייה של כל שחיין את מרחקו מתחילת הבריכה, במהלך שחייה של פעם אחת מקצה הבריכה אל הקצה השני ובחזרה.
שאלה 1.
א. מהם שיעורי הנקודות A, B, C ו-D? ב. מה משמעות הנקודה A בסיפור? ג. מה משמעות הנקודה D בסיפור?
שאלה 2. במשך כמה זמן מסיים אבי את שחייתו (שלוש פעמים הלוך ושוב)?
- א. 20 שניות
- ב. 40 שניות
- ג. 1 דקה
- ד. 2 דקות
שאלה 3. במשך כמה זמן מסיים בן את שחייתו (שלוש פעמים הלוך ושוב)? הסבירו.
שאלה 4. העתיקו את הסקיצה למחברותיכם, והשלימו את הגרף כך שיתאר את מהלך השחייה כולה.
שאלה 5. רשמו 'נכון' או 'לא נכון', ונמקו.
א. מהירות השחייה של אבי גדולה פי 1.5 ממהירות השחייה של בן.
ב. זמן השחייה של אבי גדול פי 1.5 מזמן השחייה של בן.
ג. במהלך השחייה נפגשו אבי ובן לפחות פעם אחת.
ד. כאשר אבי סיים לשחות, הספיק בן לסיים "שתי בריכות" הלוך ושוב.
שאלה 6. מה היה המרחק של בן משפת הבריכה 40 שניות לאחר שהחל לשחות?
- א. 10 מ'
- ב. 20 מ'
- ג. 30 מ'
- ד. 40 מ'
שאלה 7. x מייצג את הזמן שחלף מאז החל אבי לשחות.
סמנו את כל הביטויים המתאימים לציון המרחק של אבי משפת הבריכה, במהלך השחייה חזרה בסיבוב הראשון שלו.
שאלה 8. כמה שניות חלפו מאז החלו השחיינים לשחות ועד לפגישתם בפעם הראשונה?
שאלה 9. כמה פעמים חלפו השחיינים זה על פני זה במהלך שחייתם?
כמה פגישות נוספות התקיימו?
4. בעיה: המירוץ לכושר – בחירת מסלול אימונים 🏃♂️💪
לקראת עונת המרוצים, איתי החליט להצטרף למכון כושר כדי לשפר את הכושר הגופני שלו. בחיפושיו הוא מצא שני מסלולי תשלום שונים במכון "אקסטרים-פיט":
- מסלול "המתמיד" - משלמים דמי חבר קבועים בכל חודש, ובנוסף תשלום קטן עבור כל אימון שמבצעים בפועל.
- מסלול "הגמיש" - לא משלמים דמי חבר חודשיים, אך המחיר עבור כל אימון בודד הוא גבוה יותר.
הגדרות ומושגים קונטקסטואליים:
- דמי חבר - סכום קבוע שמשולם למכון ללא קשר למספר האימונים. במתמטיקה, זהו "הערך ההתחלתי".
- עלות לאימון - המחיר שנוסף עבור כל יחידת פעילות.
א. אם נסמן ב-x את מספר האימונים של איתי, איזה ביטוי יתאר את העלות החודשית של חדר הכושר:
- במסלול המתמיד ____. - במסלול הגמיש ____.
ב. איזה מבין הגרפים הבאים מתאר מסלול מתמיד ואיזה מהגרפים מתאר את המסלול הגמיש?
ג. אם איתי החליט לא להתאמן בכלל בחודש מסוים, כמה הוא ישלם אם הוא רשום למסלול "הגמיש"?
- א. 0 ש"ח
- ב. 40 ש"ח
- ג. 120 ש"ח
- ד. 160 ש"ח
ד. באיזה מספר אימונים חודשי העלות בשני המסלולים תהיה זהה בדיוק?
ה. אם איתי מתכנן להתאמן פעמיים בשבוע (סה"כ 8 אימונים בחודש). איזו תוכנית זולה יותר עבורו ובכמה? הציגו את דרך הפתרון.
ו. המאמן במכון טוען: "תוכנית 'המתמיד' היא תמיד המשתלמת ביותר למי שבאמת רוצה להיכנס לכושר".
- האם הטענה של המאמן נכונה מבחינה מתמטית עבור כל מתאמן?
- הסבירו את תשובתכם תוך התייחסות למשמעות השיפוע ונקודת החיתוך של שתי הפונקציות. בתשובתכם, הגדירו מתי (עבור איזה טווח אימונים) טענת המאמן הופכת לנכונה.
5. קבלני גינון
שאלה 1. כתבו לצד כל גרף את שם הקבלן המתאים.
שאלה 2. מהו שטח הגינה עבורו גובים הקבלנים אורי וגדליה מחיר זהה?
מהו המחיר במקרה זה?
שאלה 3. למשפחת ישראלי גינה ששטחה 100 מ"ר.
גברת ישראלי רצתה להזמין את הקבלן שהצעתו היקרה ביותר, כי - לטענתה - הוא גם הטוב ביותר.
מר ישראלי עמד על כך שיזמינו את הקבלן הזול ביותר, כי ממילא בכוונתם לעבור דירה בקרוב.
לבסוף נעתרה גברת ישראלי לבקשת בעלה.
כמה כסף חסכה משפחת ישראלי בהחלטה זו? הסבירו.
שאלה 4. למשפחת מזרחי יש שטח אדמה גדול, אולם התקציב שלהם לסידור גינה עמד על 1500 ש"ח.
איזה קבלן יוכל לסדר להם גינה בשטח הגדול ביותר במסגרת תקציב זה?
מה גודלו של שטח זה? הסבירו.
שאלה 5. גברת ירדני החליטה להיענות להצעה הזולה ביותר בעבורה, ולכן היא הזמינה את הקבלן גדליה לסדר לה את הגינה. מה תוכלו לומר על שטח הגינה של גברת ירדני?
שאלה 6. האם יש שטח גינה עבורו יגבו שלושת הקבלנים מחיר זהה? הסבירו.
שלושה קבלני גינון פרסמו בעיתון השכונתי הצעות מחיר לסידור גינה:
הצעתו של הקבלן ברוך:
700 ש"ח לייעוץ + 10 ש"ח לכל מ"ר גינה.
הצעתו של הקבלן גדליה:
200 ש"ח לייעוץ + 30 ש"ח לכל מ"ר גינה.
הצעתו של הקבלן אורי:
45 ש"ח לכל מ"ר גינה (הייעוץ כלול במחיר).
לפניכם שלושה גרפים המתארים את ההצעות:
6. שאלה מקשרת בין אלגברה של קו ישר וגאומטריה
נתונים הישרים ו- במערכת צירים.
- א. התאימו ישר לגרף מתאים וחשבו את שיעורי הנקודות A, B, C.
- ב. האם המשולשים AOB ו-AOC חופפים? נמקו.
- ג. הסבירו מדוע משולש ABC הוא משולש שווה שוקיים וציינו שני משולשים שווה שוקיים נוספים בשרטוט.
- ד. חשבו את שטח המשולש ABC.
- ה. מצאו את משוואת הישר העובר דרך נקודה B ומקביל לישר AC. שרטטו ישר זה במערכת הצירים הנתונה וסמנו את נקודת החיתוך עם ציר ה-Y באות D.
- ו. מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודה C ומקביל לישר AB. שרטטו ישר זה במערכת הצירים הנתונה.
- ז. מה תוכלו לומר על צלעות המרובע שהתקבל?
- ח. האם המשולשים ABC ו-DBC חופפים? נמקו.
- ט. האם קיימים משולשים חופפים נוספים בשרטוט שהתקבל? אם כן, ציינו שמותיהם.
- י. אורך הקטע AC הוא 28. יוסי טוען שהיקף המרובע ABCD הוא 88. האם יוסי צודק?
- יא. כתבו לפחות 3 תכונות של המרובע ABCD. התייחסו בתשובתכם לצלעות, לאלכסונים ולזוויות.
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
| דוגמאות: 1. נתון ריבוע. אם נגדיל שתי צלעות נגדיות שלו ב-15% נקבל מלבן שהיקפו גדול ב-6 ס"מ מהיקף הריבוע. מה אורך צלע הריבוע? מה שטח הריבוע? מה שטח המלבן המוגדל? 2. היקף מלבן הוא 100 ס"מ. צלע אחת במלבן היא 20% מהיקפו. בכמה ס"מ יש לקצר את הצלע כדי שאורכה יהיה 10% מההיקף המקוצר? 3. בשני אולמות קולנוע יש בסך הכל 240 צופים. אם 20% מהצופים באולם א' יעברו לאולם ב' יהיה מספר הצופים בשני האולמות שווה. כמה צופים יש בכל אולם? | חשיבה כמותית ולוגית פתרון בעיות רב שלביות ופתרון בעיות מורכבות חשיבה ביקורתית ביצוע ויישום הנמקה והצדקה הַקְשָרָה למציאות ומידול מתמטי אוריינות מתמטית קריאת גרף וסרטוט גרף שימוש באחוזים שימוש במחשבון. | פתרון משוואות הכוללות הגדלה או הקטנה באחוזים |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
| 4. מהכסף שהיה לי בארנק הוצאתי 17% על ספרים ו-18% על ארוחה. הוצאתי על הארוחה 5 שקלים יותר מאשר על הספרים. כמה כסף היה לי בארנק? 5. אלון קנה חולצה ומכנסיים. מחיר החולצה היה נמוך ב-30% ממחיר המכנסיים. x מייצג את מחיר המכנסיים בש"ח. א. כתבו ביטוי אלגברי המייצג את מחיר החולצה בש"ח. ב. אלון שילם 204 ש"ח על החולצה והמכנסיים יחד. מהו מחיר המכנסיים? 6. ממגורה 7. כרטיס לסרט בקולנוע אוריון עולה 35 ₪.
| דגשים: נושא זה מהווה יישום של הנלמד בתחום המספרי. יש ללמד נושא זה רק לאחר חשיפתו במסגרת התחום המספרי. הגדלה או הקטנה תהיינה מבוססות על הבנת המשתמע מתיאור הבעיה. יש לפתח תובנה חשבונית ואלגברית לשימוש באחוזים באמצעות הדגשת היסוד הכפלי של הגדלה או הקטנה באחוזים. יושם דגש על בקרה עצמית ורפלקציה לגבי האפשרויות של התשובה הסופית ולגבי הדרך. |
משימה מסכמת לדיון כיתתי
1. דן קנה 2 ק"ג תפוחים ו-1.5 ק"ג אגסים. מחיר ק"ג תפוחים גדול ב-25% מק"ג אגסים. בסך הכל דן שילם על הפירות 32 ₪. מה המחיר לק"ג תפוחים? מה המחיר לק"ג אגסים?
| הילה כתבה: | צופיה כתבה: |
|---|---|
| מחיר ק"ג אגסים = מחיר ק"ג תפוחים = המשוואה: | מחיר ק"ג אגסים = מחיר ק"ג תפוחים = המשוואה: |
הסבירו את דרך הפתרון של כל אחת מהתלמידות.
האם התלמידות יקבלו פתרונות זהים? אם לא, מי מהן צודקת? נמקו.
העבודה היא חיינו משימה מסכמת:
חברת ברק, העוסקת בהפניית עובדי ניקיון לעבודה בקבלנות, מפרסמת:
עובדים המוכנים לעבוד במשמרות, יקבלו אצלנו תוספת בשיעור של 20% מהמשכורת, עד לתוספת של 800 ש"ח לכל היותר.
שאלה 1. גובה המשכורת של מר כהן הוא 5000 ש"ח, והוא מוכן לעבוד במשמרות.
מה יהיה גובה משכורתו החדשה?
- א. 5000 ש"ח
- ב. 6000 ש"ח
- ג. 5800 ש"ח
- ד. 1000 ש"ח
שאלה 2. רשמו 'נכון' או 'לא נכון', והסבירו.
א. כל העובדים במשמרות, שגובה משכורתם המקורית הוא למעלה מ-6000 ש"ח, יקבלו אותה תוספת למשכורת. ב. כל העובדים במשמרות, שגובה משכורתם המקורית הוא למטה מ-4000 ש"ח, יקבלו אותה תוספת למשכורת.
ג. ככל שהמשכורת המקורית גבוהה יותר כך התוספת למשכורת גדולה יותר.
ד. אם עובד קיבל תוספת של 800 ש"ח, סימן שמשכורתו המקורית הייתה בגובה 4000 ש"ח.
שאלה 3. התאימו גרף לכל תיאור, ונמקו את בחירתכם. שימו לב: יש גרפים מיותרים.
א. גרף המתאר את התוספת בשקלים עבור משמרות, בהתאם למשכורת המקורית. ב. גרף המתאר את המשכורת המוגדלת בשקלים עקב התוספת, בהתאם למשכורת המקורית.
(x < 4000) אילו מהביטויים הבאים מתאימים למשכורת אחרי התוספת? שאלה 4. x מייצג את גובה המשכורת המקורית.
- א.
- ב.
- ג.
- ד.
שאלה 5. כל העובדים המוזכרים בשאלה זו ניאותו לעבוד במשמרות.
מה גובה משכורתו המקורית? מה גובה משכורתה המקורית? מהי משכורתו המקורית? א. מר יהלומי קיבל תוספת של 700 ש"ח. ג. גברת פז קיבלה תוספת של 800 ש"ח.
ב. בעקבות התוספת, משכורתה החדשה של גברת כספי עומדת על 4440 ש"ח. מהי התוספת למשכורתה? ד. בעקבות התוספת, גובה משכורתו החדשה של מר ברקת הוא 6000 ש"ח.
משימה אוריינית:
שיפור ציון
במבחן קשה קיבלו התלמידים ציונים נמוכים.
המורה החליט לשפר את ציוניהם, והציע שתי דרכים לכך:
דרך I: הוספת 10 נקודות לכל ציון.
דרך II: הוספת 20% לכל ציון.
לפניכם זוג גרפים המתארים את הקשר בין הציון המקורי לבין הציון המשופר, לפי שתי הדרכים.
שימו לב! אחרי השיפור ייתכן כי יתקבל ציון הגבוה מ-100 נקודות.
שאלה 1. דני קיבל במבחן 64 נקודות.
באיזו דרך יבחר דני לשפר את ציונו? הסבירו.
שאלה 2. x מייצג את הציון המקורי.
אילו מהתבניות הבאות אינן מייצגות את הציון המשופר בדרך II?
- א.
- ב.
- ג.
- ד.
- ה.
שאלה 3. התאימו כל אחד מהגרפים לאחת מדרכי השיפור, ונמקו.
שאלה 4. רן אמר שאין זה משנה באיזו דרך ישפרו את ציונו, כי בשתי הדרכים יתקבל אותו ציון.
א. מהו הציון המקורי של רן במבחן? ב. איזו נקודה בגרף מייצגת ציון זה?
שאלה 5. דינה אמרה שהיא מעדיפה לשפר את הציון שלה בדרך II.
מה תוכלו לומר על הציון המקורי של דינה?
איך לומדים זאת מהגרף?
שאלה 6. קבעו לגבי כל היגד אם הוא מתאים לשיפור בדרך I, לשיפור בדרך II, לשיפור בשתי הדרכים, או אינו מתאים לאף אחת מן הדרכים.
הסבירו את קביעתכם.
א. התוספת לציון גדולה יותר ככל שהציון במבחן גבוה יותר. ה. הציון המשופר יכול להיות גדול פי 2 מהציון המקורי.
ב. הציונים הנמוכים מקבלים תוספת גדולה יותר מאשר הציונים הגבוהים.
ג. שני ציונים שונים יכולים לקבל אותה תוספת.
ד. הציון 50 משתפר לציון 60.
שאלה 7. עופר השווה בין שתי התוספות האפשריות לציון שקיבל, וראה שבדרך II הוא מקבל 5 נקודות יותר מאשר בדרך I.
מה היה ציונו המקורי?
כיצד לחשב מס הכנסה - גרפים
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
| 1. גנן תכנן להרכיב צינור מים מארבעה חלקים, ולהניח אותו בגינה שאורכה 5 מטרים. האורך הכולל של הצינור צריך להיות קצר מאורך הגינה. הגנן הניח חלק אחד שאורכו 2.3 מטרים, וחיבר אליו עוד שלושה חלקים אחרים השווים באורכם זה לזה, כפי שמתואר בסרטוט. x מייצג את האורך במטרים של כל אחד משלושת החלקים השווים באורכם.  סמנו את האי-שוויון המתאים לנתוני השאלה. | חשיבה כמותית ולוגית פתרון בעיות רב שלביות ופתרון בעיות מורכבות חשיבה ביקורתית מעבר בין ייצוגים שונים הַקְשָרָה למציאות ומידול מתמטי אוריינות מתמטית קריאת גרף וסרטוט גרף מיון וסיווג ביצוע ויישום הנמקה והצדקה | אי שוויונות ממעלה ראשונה ופתרונן |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
| 2. לתמר היו 300 ש"ח לקניית שק שינה ותרמיל. מחיר שק השינה היה נמוך ב-120 ש"ח ממחיר התרמיל. המחיר של שק השינה והתרמיל יחד היה קטן מסכום הכסף שהיה לתמר. איזה אי-שוויון מתאים לכל נתוני השאלה? א. x מייצג את מחיר התרמיל.
ב. האם ייתכן שמחיר התרמיל שקנתה תמר היה 215 ש"ח? | היכרות ראשונית עם מושג אי שוויון אלגברי ופתרונו. אי שוויון אלגברי הוא אי שוויון שלפחות באחד משני האגפים שלו יש משתנה. פתרון של אי שוויון אלגברי הוא מציאת תחום הערכים של המשתנה שעבורו אי השוויון מתקיים. דגשים: יש לדעת להרכיב אי שוויון על סמך תיאור מילולי. יש לדעת לזהות האם מספר כלשהו מהווה פתרון חלקי לאי שוויון (כלומר האם המספר הוא בתחום הפתרון). |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
3. אריאל צריך לבנות טיסנים רבים ככל האפשר ב-50 דקות. דרושות לו 5 דקות כדי לבנות טיסן מדגם A ו-3 דקות כדי לבנות טיסן מדגם B.
| יש לעסוק באי-שוויונות ליניאריים באמצעים אלגבריים וגרפיים. יש לעסוק בפתרון אי שוויונות שבהם אי השוויון הופך כיוון כתוצאה של כפל או חילוק במספר שלילי. יש לדעת למצוא את התחום המשותף של הפתרונות לשני אי-שוויונות פשוטים. יושם דגש על בקרה עצמית ורפלקציה לגבי התשובה הסופית ולגבי הדרך. |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
4. לדנה יש שלושה מטילים מתכתיים זהים. כאשר היא הניחה מטיל אחד על כף מאזניים ומשקולות השוקלות 8 גרם על הכף השנייה, זה מה שארע:  כאשר היא הניחה את שלושת המטילים על כף מאזניים ומשקולות השוקלות 20 גרם על הכף השנייה, זה מה שארע:  מה יכול להיות המשקל של מטיל אחד? |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
5. לפניכם אי-שוויון: האם -8 הוא אחד הפתרונות של האי-שוויון? 6. נתון אי-שוויון: .
7. לפניכם אי-שוויון: . א. הביאו דוגמה למספר שהוא פתרון של האי-שוויון. ב. הביאו דוגמה למספר שהוא איננו פתרון של האי-שוויון. 8. מהם תחומי הערכים של x שעבורם מתקיימים אי-השוויונות הבאים: |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
9. נתונות שתי המשוואות הבאות: משוואה א: משוואה ב: ה. סרטטו את שני הישרים המתאימים על אותה מערכת צירים. ו. מהו תחום הערכים של x שעבורו ערכי ה-y במשוואה ב הם חיוביים? ז. מהי נקודת החיתוך בין הישרים? מצאו בדרך גרפית ובדרך אלגברית. ח. מהו תחום הערכים של x שעבורם ערכי ה-y של ישר א גדולים מערכי ה-y של ישר ב. |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
| 10. נתון הישר שמשוואתו . מי מהנקודות הבאות מונחת מעל הישר, מי מתחתיו ומי מונחת עליו? 11. פתרו את האי-שוויונות הבאים:
12. נתונים שני אי-שוויונות: א. פתרו את אי השוויון הראשון: ב. פתרו את אי-השוויון השני: ג. מהו תחום הערכים של x שעבורם מתקיימים שני האי-שוויונות (תחום פתרון משותף). |
שאלת סיכום אוריינית
בעיה: המעבר לאנרגיה סולארית – האם זה משתלם? ☀️🏠
מדינת ישראל מעודדת משפחות להתקין פנלים סולאריים על גגות הבתים כדי לייצר חשמל נקי. משפחת לוי בוחנת שתי אפשרויות לתשלום חשבון החשמל החודשי שלהם:
- תכנית "חשמל רגיל" - תשלום של 0.6 ש"ח עבור כל קוט"ש (קילו-ואט שעה) של חשמל שנצרך. אין תשלום קבוע.
- תכנית "גג ירוק" - התקנת פנלים בעלות אחזקה קבועה של 120 ש"ח לחודש, אך מחיר החשמל יורד ל-0.2 ש"ח בלבד עבור כל קוט"ש שנצרך.
לידיעתכם: קוט"ש (kWh): יחידת מידה לכמות האנרגיה החשמלית שצורכים המכשירים בבית.
נסמן ב-x את מספר הקוט"ש שצורכת המשפחה בחודש.
א. איזה ביטוי מתאר את המחיר שמשלמת המשפחה בחודש:
בתכנית "חשמל רגיל" בתכנית "גג ירוק"
ב. ניתוח נתונים
1. אם משפחת לוי צרכה 200 קוט"ש בחודש מסוים, מה יהיה ההפרש בין שתי התכניות?
- א. תכנית "חשמל רגיל" תהיה זולה ב-40 ש"ח.
- ב. תכנית "גג ירוק" תהיה זולה ב-40 ש"ח.
- ג. המחיר יהיה זהה בשתי התכניות.
- ד. תכנית "גג ירוק" תהיה יקרה ב-120 ש"ח.
2. איזה מהאי-שוויונות הבאים מייצג את המצב שבו תכנית "גג ירוק" זולה יותר מתכנית "חשמל רגיל"?
- א.
- ב.
- ג.
- ד.
ג. הסבירו מה צריכה להיות צריכת החשמל (מספר הקוט"ש) שעבורה משתלם למשפחת לוי לעבור לתכנית "גג ירוק".
ד. משרד האנרגיה פרסם כי "משפחה ממוצעת בישראל צורכת כ-800 קוט"ש בחודש".
- (1) בהסתמך על נתון זה, האם הייתם ממליצים למשפחה ממוצעת לעבור לתכנית הסולארית? נמקו את תשובתכם בעזרת חישוב.
- (2) שאלה למחשבה: נניח שבחודשי הקיץ המשפחה מפעילה מזגנים רבים והצריכה קופצת ב-50% מהממוצע. כיצד זה ישפיע על החיסכון החודשי שלהם בתכנית "גג ירוק"? (הסבירו ללא צורך בחישוב מדויק, התייחסו לשיפוע הפונקציה.)
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי | |||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| דוגמאות: 1. נתונות שתי משוואות: א. הצב את ערכי x הבאים בשתי המשוואות, ורשום בטבלה את ערכי y המתקבלים בהצבה:
ב. עבור איזה ערך של x מתקיים ? ג. עבור אילו ערכים של x מתקיים האי-שוויון ? 2. נתונות שתי הפונקציות: א. סרטטו את הגרפים שלהן במערכת הצירים. ב. מהם שיעורי נקודת החיתוך של שני הישרים? | חשיבה כמותית ולוגית פתרון בעיות רב שלביות ופתרון בעיות מורכבות חשיבה ביקורתית מעבר בין ייצוגים שונים הַקְשָרָה למציאות ומידול מתמטי אוריינות מתמטית קריאה והבנה של מלל קצר ופשוט קריאת גרף וסרטוט גרף ביצוע ויישום הנמקה והצדקה שימוש במחשבון. יושם דגש על בקרה עצמית ורפלקציה לגבי התשובה הסופית ולגבי הדרך. יכולת התרגום בין ייצוגים שונים היא בסיסית לצורך אוריינות מתמטית. | פתרון מערכת משוואות לינאריות בשני משתנים שהצגתן מפורשת |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| ג. מהו הערך של x שעבורו ? 3. לפניכם גרפים של שני ישרים , . הגרפים נחתכים בנקודה .  סמנו ליד כל טענה האם היא נכונה או איננה נכונה.
| דגשים: מומלץ לפתוח בפתרון מערכות שבהן אחת המשוואות מתאימה לישר אופקי. בשלבים התחלתיים יש להתמקד במציאת נקודות החיתוך של שני ישרים הנתונים בייצוג גרפי או בייצוג אלגברי. יש להדגיש כי פתרון מערכת משוואות הוא זוג סדור של מספרים שהצבתם בכל אחת מהמשוואות מביא לשוויון מספרי בין שני אגפי המשוואה (משמעות אלגברית). משמעות גרפית של פתרון מערכת משוואות כשיעורי נקודת החיתוך של שני ישרים. יש ללמוד לפתור מערכות משוואות באמצעות גרפים. |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
| 4. נתונים שני ישרים: ישר א' עובר דרך הנקודה , ושיפועו 2. ישר ב' הינו ישר אופקי העובר בנקודה . א. מצאו את המשוואות של שני הישרים. ב. מצאו את נקודת החיתוך של הישרים באמצעות השוואת הביטויים. שימו לב שלנקודת החיתוך יש שני שיעורים ועליכם למצוא את שניהם. ג. סרטטו את הישרים על מערכת צירים אחת, וודאו אם הישרים אמנם נחתכים בנקודה שמצאתם בסעיף הקודם. 5. נתונות שתי משוואות של שני ישרים: א. סרטטו את שני הישרים המתאימים במערכת צירים משותפת. ג. מצאו את הערך של x בנקודת החיתוך, באמצעות השוואת הביטויים האלגבריים ופתרון המשוואה. ב. מהם שיעורי נקודת החיתוך של שני הישרים? | יש ללמוד לפתור מערכות משוואות בעזרת שוויון ביטויים. יש להתאים מערכת לפתרון מוצע. יש לזהות את מספר הפתרונות שיכול להיות אפס או אחד באמצעיים אלגבריים ואמצעיים גרפיים (אינסוף פתרונות יילמדו כאשר ההצגה לא תהיה רק מפורשת). יש לשלב שאלות מילוליות ואורייניות המחייבות פתרון מערכת של שתי משוואות קוויות בשני נעלמים. |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
| 6. נתונות שתי משוואות של שני ישרים: א. שרטטו את הישרים המתאימים על אותה מערכת צירים. ג. מהם שיעורי הנקודה שבה ? ב. מהו תחום הערכים של x שעבורו ? ד. מהו תחום הערכים של x שעבורו ? 7. נתונים שני ישרים במערכת צירים. א. מצאו את שיעורי נקודת החיתוך בין שני הישרים.  |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
ב. לפניכם 3 זוגות של משוואות ישר:
מי מבין זוגות המשוואות מתארת את הישרים הנתונים? 8. נתונה מערכת משוואות: סמנו את הזוג הסדור שהוא פתרון המערכת הנתונה, ונמקו את בחירתכם. |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
| 9. רשמו דוגמה של מערכת משוואות שפתרונה הוא . 10. נתונה מערכת משוואות: כמה פתרונות יש למערכת? 11. נתונה משוואת הישר . א. ישר שני, סימטרי לישר הנתון ביחס לציר y. מהי משוואת הישר השני? ב. האם לישר השני נקודה משותפת עם הישר הראשון? אם כן מה שיעוריה? ג. ישר שלישי, סימטרי לישר הנתון ביחס לציר x. מהי משוואת הישר השלישי? ד. האם לישר השלישי נקודה משותפת עם הישר הראשון? אם כן מה שיעוריה? |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
| דוגמאות: 1. נתונות שתי המשוואות הבאות:
2. מצאו שני מספרים שסכומם 127 והפרשם 47. 3. פתרו את מערכות המשוואות: | חשיבה כמותית ולוגית פתרון בעיות רב שלביות ופתרון בעיות מורכבות חשיבה ביקורתית מעבר בין ייצוגים שונים קריאת גרף וסרטוט גרף ביצוע ויישום הנמקה והצדקה נושא זה הוא המשך של הנושא הקודם כאשר לפחות משוואה אחת של המערכת אינה בצורה מפורשת. | פתרון מערכות משוואות לינאריות בשני נעלמים |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
| 4. רות שילמה 29 שקלים בעבור כביסה של 4 מגבות ו-7 סדינים. לקראת החג יצאו במבצע של 20% הנחה. במסגרת ההנחה שילמה רות 20 שקלים בלבד בעבור כביסה של 5 מגבות ו-5 סדינים. מהו התעריף הרגיל של המכבסה בעבור כביסת מגבת אחת? ובעבור סדין אחד? 5. דני ועמי יצאו ברגל זה לקראת זה משני יישובים המרוחקים זה מזה 30 ק"מ. הם נפגשו כעבור 4 שעות. למחרת, עמי יצא 5 שעות אחרי דני, והם נפגשו שעתיים לאחר צאתו של עמי. מהי מהירות ההליכה של דני ועמי? 6. אם נגדיל צלע אחת של מלבן ב-2 ס"מ ונקטין צלע סמוכה לה ב-3 ס"מ, נקבל ריבוע שהיקפו 20 ס"מ. מהן מידות המלבן? מהו שטח המלבן? מהו שטח הריבוע שנוצר? | יש ללמוד לפתור מערכות משוואות באמצעים אלגבריים: בשיטת ההצבה ועל ידי הבאה למקדמים שווים – השוואת מקדמים או הנגדת מקדמים. מומלץ להתחיל לפתור מערכת משוואות בשיטת ההצבה כאשר אחת מהמשוואות רשומה בייצוג מפורש. יש ללמוד לשקול איזו שיטה נוחה יותר עבור מערכת משוואות נתונה. המשך הדגשת משמעות גרפית ומשמעות אלגברית של פתרון מערכת משוואות. יש לזהות את מספר הפתרונות שיש למערכת: 0, 1 או אינסוף. פתרון משוואות יכלול פישוט ביטויים אלגבריים שמתבסס על כינוס איברים דומים וחוקי חשבון (חוקי החילוף, חוקי הקיבוץ וחוק הפילוג). |
| קישוריות יישומים ודוגמאות | פתוח מיומנויות והערות דידקטיות | תוכן מתמטי |
|---|---|---|
| יש לשלב שאלות מילוליות ואורייניות המחייבות פתרון מערכת של שתי משוואות קוויות בשני נעלמים. |
שאלה מסכמת אוריינית / קבלת החלטות
בעיה: מבצע "צבי הים" – תכנון משימת מחקר 🐢
תיאור הסיטואציה:
צוות חוקרים ימיים בים התיכון מתכנן מבצע להצמדת משדרים ל-30 צבי ים שהשתקמו במרכז להצלת צבים. המטרה היא לעקוב אחרי מסלול הנדידה שלהם. לרשות החוקרים עומדים שני סוגי משדרים:
משדר "קל" (Lite): משדר קטן וזול יחסית. משדר משוכלל המאפשר מעקב ארוך טווח, אך הוא כבד ויקר יותר.
משדר "לוויני" (Sat):
החוקרים חייבים לנצל את כל התקציב שהוקצה למשימה ולהתחשב במגבלת המשקל הכוללת של הציוד שהסירה יכולה לשאת.
הגדרות ונתונים:
עלות: תקציב המשימה הכולל הוא 18,000 ש"ח.
משקל: המשקל הכולל של כל המשדרים יחד חייב להיות בדיוק 9 ק"ג (9,000 גרם).
טבלת נתוני המשדרים:
סוג המשדר משקל ליחידה (גרם) עלות ליחידה (ש"ח) משדר "קל" () 200 500 משדר "לוויני" () 500 800
א. סמנו ב-x את מספר המשדרים מהסוג ה"קל" וב-y את מספר המשדרים מהסוג ה"לוויני".
- כתבו מערכת של שתי משוואות המייצגת את הנתונים (שימו לב ליחידות המידה).
- פתרו את מערכת המשוואות ומצאו כמה משדרים מכל סוג על החוקרים להזמין כדי לעמוד בדיוק בתקציב ובמגבלת המשקל עבור 30 צבים.
ב. בבוקר המבצע התברר כי 25 מצבי הים הם "צבים צעירים" (קטנים מאוד). הווטרינר הראשי קבע כי צבים אלו אינם יכולים לשאת משדר השוקל יותר מ-300 גרם.
- האם הפתרון שמצאתם בסעיף א עדיין מאפשר את ביצוע המשימה עבור כל 30 הצבים? הסבירו מדוע. אם התשובה היא לא – הציעו שינוי אחד שהחוקרים יכולים לבצע (למשל: שינוי בתקציב או במספר הצבים) כדי לפתור את הבעיה.
הערה: אפשרי לקיים דיון: חוקר אחד הציע: "בואו נקנה רק משדרים 'קלים', כך נוכל לעקוב אחרי הרבה יותר צבים באותו תקציב!" ציינו סיבה מדעית אחת מדוע הצוות עשוי להתנגד להצעה זו, למרות החיסכון הכספי.