אלגברה לכיתה ז

התחום האלגברי שנלמד בכיתה ז מהווה חידוש עבור התלמידים מבחינת רמת ההפשטה הכרוכה בו. השימוש באותיות המסמנות מספר באופן כללי, שונה מהשימוש במספרים קונקרטיים שהיה נהוג בבית הספר היסודי, ומהווה קפיצת מדרגה מחשבתית. על כן התוכנית מגישה את הנושאים בהדרגתיות, תוך הדגשת המשמעות של כל שלב. ההדרגתיות מופיעה מתוך כוונה מוצהרת לאפשר לשיעור גבוה יותר של תלמידים, לעומת העבר, להבין לעומק את תשתית הידע, ולהכיר טוב יותר את השימושים האפשריים בידע זה. הטמעת הידע והשימושים בו נועדו להכין לתלמידים ללימודי המשך ולאפשר להשתמש בהם בחייהם כבוגרים. תשומת לב מיוחדת מוקדשת להצבת מספרים בביטויים אלגבריים, למשמעות סימן השוויון, ולמשמעות פתרון משוואה גם כאשר אין ביכולת התלמיד לפתור אותה. לימודי האלגברה בכיתה ז צריכים להיות מכוונים לתובנה של הנלמד מעבר ליכולת פרוצדורלית של ביצוע הנדרש.

בנוסף, לימודי האלגברה מוצגים בהקשר של מצבים מציאותיים. השאלות המילוליות הנלוות, צריכות להיות משולבות בכל שלב. משימות האוריינות יכולות לבוא לידי ביטוי גם כמשימות סיכום של נושא, אך אמורות להיות משולבות במהלך ההוראה עצמו. בדרך זו יש להטמיע בקרב התלמידים את הקישוריות של האלגברה למגוון תחומים תוך-מתמטיים וחוץ-מתמטיים.

בטבלה שלפנינו מוצגים הנושאים השונים הנמצאים בתחום, והמלצת מספר שעות ההוראה לכל נושא. מובן שההמלצות הללו אינן מותאמות לכל הכיתות אך מהוות בסיס להערכת משך ההוראה של כל נושא.

עמוד 2 מתוך המסמך הרשמי — אלגברה לכיתה ז

נושא מרכזי	תתי נושאים	המלצה לשעות הוראה
משתנים וביטויים אלגבריים	המשתנה ביטויים אלגבריים שוויון בין ביטויים אלגבריים (זהות) כינוס איברים דומים חוק הפילוג	25
משוואות ופתרונן	משוואה, משמעות פתרון משוואה פתרון משוואות ממעלה ראשונה שאלות בהקשרים עם שימוש בפתרון משוואה ממעלה ראשונה	20
נקודות על גרף ברביע I		5

עמוד 3 מתוך המסמך הרשמי — אלגברה לכיתה ז

שלושה איברים ראשונים בסדרת קבוצות של נקודות (סימנים)

תוכן מתמטי	פיתוח מיומנויות והערות דידקטיות	דוגמאות, יישומים וקישוריות
משתנים וביטויים אלגבריים	הכללה והפשטה קישוריות למציאות ומידול מתמטי אוריינות מתמטית ביצוע ויישוםמשתנה: סימן שמייצג ערך מספרי וניתן לקביעה ולשינוי לפי הצורך. משתמשים באותיות לסימון משתנים, כלומר, האות באלגברה היא סימן שמייצג ערך מספרי.דגשים:1. מוצע להציג את המושג 'משתנה' בדוגמאות שבהן רואים את התועלת שבו, למשל, תיאור מצבים חשבוניים או גאומטריים והכללות של מקרים פרטיים (ניסוח חוקיות, בחירה וניסוח ביטוי אלגברי שמתאים לחוקיות).	קישוריות: כל תחומי הידע במתמטיקה ובמדעים, כולל סטטיסטיקה וחיי יומיום1. דוגמה לקישוריות עם גאומטריה:מהו היקפו של משולש שווה צלעות שאורך צלעו 5 ס"מ?מהו היקפו של משולש שווה צלעות שאורך צלעו 7 ס"מ?מהו היקפו של משולש שווה צלעות שאורך צלעו $m$ ס"מ?2. א. מחיר ליטר דלק הוא 7 שקלים. מהי העלות של 20 ליטרים של דלק? של 30 ליטרים של דלק? מהי העלות של b ליטרים של דלק? מהי העלות כאשר: b=40?ב. בלילה, בין השעות 21:00 ל-06:00 למחרת, קיימת עמלה קבועה בת 2 שקלים בעבור כל מילוי דלק. מהי העלות של 20 ליטרים של דלק בלילה? של 30 ליטרים של דלק? מהי העלות של b ליטרים של דלק? מהי העלות כאשר: b=40?3. לפניכם שלושה איברים ראשונים (משמאל לימין) בסדרה של קבוצות סימנים:

עמוד 4 מתוך המסמך הרשמי — אלגברה לכיתה ז

שני מגדלים הבנויים מכוסות מוערמות, בגובה 20 ס"מ ו-26 ס"מ

תוכן מתמטי	פיתוח מיומנויות והערות דידקטיות	דוגמאות, יישומים וקישוריות
	2. בלימוד התחלתי יש להתמקד בייצוג ערכים מספריים באמצעות משתנים, כלומר, ניתן להציב מספר במקום משתנה. מומלץ להתחיל מהצבת הערכים המספריים שהם מספרים טבעיים בלבד.3. לתלמידים אין היכרות קודמת עם סימנים כמייצגים ערכים מספריים (למעט שימוש במשבצות), ויש להקדיש זמן להטמעת הייצוג.ביטוי אלגברי:צירוף של מספרים ו/או משתנים הקשורים ביניהם בפעולות מתמטיות.4. כשביטוי אלגברי כולל משתנים, הצבת ערכים מספריים במקום המשתנים הופכת אותו לביטוי חשבוני בעל ערך מספרי.5. יש לדעת להציב מספרים בביטויים אלגבריים, ולחשב את ערכם המספרי של הביטויים החשבוניים המתקבלים, בהתאם לסדר פעולות חשבון.	א. כמה סימנים יש בכל אחד מהאיברים המוצגים?ב. הציעו המשך לסדרה: כתבו שלושה אברים עוקבים.ג. בהנחה שששת האיברים הראשונים של הסדרה הם 3, 5, 7, 9, 11, 13, מהו האיבר ה-9 בסדרה?ד. מהו האיבר ה-58 בסדרה? מהו האיבר ה-1000 בסדרה?ה. כמה סימנים יש במקום ה-n? (אפשרי לנסח את הסעיף כבחירה של ביטוי אלגברי מתאים מתוך אפשרויות מוצעות.)4. קופסה מכילה רק כדורים לבנים, סגולים ושחורים. מספר הכדורים הלבנים הוא פי 4 יותר מהכדורים הסגולים ו-3 כדורים פחות מכדורים שחורים. מספר הכדורים הסגולים מסומן ב-x.א. רשמו ביטוי אלגברי המתאר את מספר הכדורים השחורים.רשמו ביטוי אלגברי המתאר את מספר הכדורים בקופסה.5. הגובה של מגדל שנבנה מ-4 כוסות הוא 20 ס"מ. הגובה של מגדל שנבנה מ-6 כוסות הוא 26 ס"מ.

עמוד 5 מתוך המסמך הרשמי — אלגברה לכיתה ז

תוכן מתמטי	פיתוח מיומנויות והערות דידקטיות	דוגמאות, יישומים וקישוריות
	במידת הצורך, אפשר להיעזר באמצעי המחשה.6. יש לדעת להסביר באופן מילולי את תהליך ההצבה של ערך משתנה בביטוי אלגברי, תוך הסתמכות על סדר פעולות חשבון.7. ביטוי אלגברי משמש לתיאור מצב מציאותי או סדרה. מוצע להציג ביטויים אלגבריים גם דרך דוגמאות הממחישות את התועלת שבהם, כהמשך להצגת המושג 'משתנה'. הצבת מספרים בביטויים אלגבריים תיעשה הן כתרגול לשמו והן בשאלות בהקשרים מעשיים שונים.8. הביטויים האלגבריים יכללו את 4 פעולות החשבון וכן חזקות 1, 2 או 3 של משתנה בהתאם להתקדמות בתחום המספרי.	א. בכמה ס"מ גדל גובה המגדל כאשר מוסיפים לו כוס אחת?ב. רשמו ביטוי אלגברי המבטא את הגובה, בס"מ, של מגדל המורכב מ-n כוסות. (אפשרי לנסח את הסעיף כבחירה של ביטוי אלגברי מתאים מתוך אפשרויות מוצעות.)6. ליובל יש פי שניים ספרים מאשר לעמית. לדוד יש שישה ספרים יותר מאשר לעמית. כמה ספרים יש לכל שלושתם, אם לעמית יש: א. 5 ספרים ב. 10 ספרים ג. 50 ספרים ד. x ספרים 7. צלע אחת של מלבן ארוכה פי 3 מהצלע השנייה.א. מהו היקף המלבן כאשר אורך הצלע הקצרה הוא: i. 5 ס"מ ii. 20 ס"מ iii. 35 ס"מ

תוכן מתמטי

פיתוח מיומנויות והערות דידקטיות

דוגמאות, יישומים וקישוריות

במידת הצורך, אפשר להיעזר באמצעי המחשה.6. יש לדעת להסביר באופן מילולי את תהליך ההצבה של ערך משתנה בביטוי אלגברי, תוך הסתמכות על סדר פעולות חשבון.7. ביטוי אלגברי משמש לתיאור מצב מציאותי או סדרה. מוצע להציג ביטויים אלגבריים גם דרך דוגמאות הממחישות את התועלת שבהם, כהמשך להצגת המושג 'משתנה'. הצבת מספרים בביטויים אלגבריים תיעשה הן כתרגול לשמו והן בשאלות בהקשרים מעשיים שונים.8. הביטויים האלגבריים יכללו את 4 פעולות החשבון וכן חזקות 1, 2 או 3 של משתנה בהתאם להתקדמות בתחום המספרי.

א. בכמה ס"מ גדל גובה המגדל כאשר מוסיפים לו כוס אחת?ב. רשמו ביטוי אלגברי המבטא את הגובה, בס"מ, של מגדל המורכב מ-n כוסות. (אפשרי לנסח את הסעיף כבחירה של ביטוי אלגברי מתאים מתוך אפשרויות מוצעות.)6. ליובל יש פי שניים ספרים מאשר לעמית. לדוד יש שישה ספרים יותר מאשר לעמית. כמה ספרים יש לכל שלושתם, אם לעמית יש:

א. 5 ספרים
ב. 10 ספרים
ג. 50 ספרים
ד. x ספרים

7. צלע אחת של מלבן ארוכה פי 3 מהצלע השנייה.א. מהו היקף המלבן כאשר אורך הצלע הקצרה הוא:

i. 5 ס"מ
ii. 20 ס"מ
iii. 35 ס"מ

עמוד 6 מתוך המסמך הרשמי — אלגברה לכיתה ז

תוכן מתמטי	פיתוח מיומנויות והערות דידקטיות	דוגמאות, יישומים וקישוריות
	9. הטיפול בביטויים הכוללים יותר ממשתנה אחד יהיה רק לאחר הטמעה של ביטויים אלגבריים עם משתנה אחד.10. יש לשים לב שאופן הכתיבה המקובל של כפל מספר במשתנה, למשל $2 x$ , עלול ליצור קושי אצל תלמידים. בשלבים הראשונים של הלימוד מומלץ לרשום את סימן הכפל באופן מפורש, למשל כך: $2 \cdot x$ .	iv. a ס"מ ב. כתבו ביטוי אלגברי המתאר את שטח המלבן כאשר אורך הצלע הקצרה הוא a ס"מ.8. צלע אחת של מלבן ארוכה ב-3 ס"מ מהצלע השנייה.א. כתבו ביטוי אלגברי המתאר את היקף המלבן.ב. כתבו ביטוי אלגברי המתאר את שטח המלבן.9. מספר החולצות שיש להילה גדול ב-3 ממספר החולצות שיש לחנה. n מציין את מספר החולצות שיש להילה. רשמו ביטוי אלגברי המתאר את מספר החולצות שיש לחנה באמצעות n.10. אם t הוא מספר בין 6 ל-9 אז $t + 5$ הוא מספר: א. בין 1 ל-4 ב. בין 10 ל-13 ג. בין 11 ל-14 ד. בין 30 ל-45

תוכן מתמטי

פיתוח מיומנויות והערות דידקטיות

דוגמאות, יישומים וקישוריות

9. הטיפול בביטויים הכוללים יותר ממשתנה אחד יהיה רק לאחר הטמעה של ביטויים אלגבריים עם משתנה אחד.10. יש לשים לב שאופן הכתיבה המקובל של כפל מספר במשתנה, למשל

2 x

, עלול ליצור קושי אצל תלמידים. בשלבים הראשונים של הלימוד מומלץ לרשום את סימן הכפל באופן מפורש, למשל כך:

2 \cdot x

.

iv. a ס"מ

ב. כתבו ביטוי אלגברי המתאר את שטח המלבן כאשר אורך הצלע הקצרה הוא a ס"מ.8. צלע אחת של מלבן ארוכה ב-3 ס"מ מהצלע השנייה.א. כתבו ביטוי אלגברי המתאר את היקף המלבן.ב. כתבו ביטוי אלגברי המתאר את שטח המלבן.9. מספר החולצות שיש להילה גדול ב-3 ממספר החולצות שיש לחנה. n מציין את מספר החולצות שיש להילה. רשמו ביטוי אלגברי המתאר את מספר החולצות שיש לחנה באמצעות n.10. אם t הוא מספר בין 6 ל-9 אז

t + 5

הוא מספר:

א. בין 1 ל-4
ב. בין 10 ל-13
ג. בין 11 ל-14
ד. בין 30 ל-45

עמוד 7 מתוך המסמך הרשמי — אלגברה לכיתה ז

כרטיסייה עם הביטוי 8+a·3 ושקית שקופה מעל האות a

כרטיסייה עם הביטוי 3·X+4+X ושקיות שקופות מעל האותיות

תוכן מתמטי	פיתוח מיומנויות והערות דידקטיות	דוגמאות, יישומים וקישוריות
		11. מהם חמשת האיברים הראשונים של הסדרה שבמקום ה-n שלה נמצא המספר $3 \cdot n - 1$ ?12. הציבו בביטוי האלגברי $21 - 3 a$ את הערכים: 3, 4, 5, במקומו של המשתנה a, וחשבו את ערכו המספרי של הביטוי בכל אחד מהמקרים.13. הציבו את המספרים ...1,2,3, במקום המשתנה t בביטוי: $4 t + 2 - 3 t + 1$ .14. דרגשי עץ.15. דוגמה לאמצעי המחשה:ניתן לרשום את הביטוי על כרטיסיה, ומעל האות להדביק שקית שקופה כבתמונות: או בהצבת מספר, למשל 1 או 5, ניתן להשחיל את המספר לשקית מעל האות וכך להפוך את הביטוי לחשבוני כבתמונות: או

עמוד 8 מתוך המסמך הרשמי — אלגברה לכיתה ז

תרגיל התאמה: תיאורים מילוליים בטור אחד וביטויים אלגבריים בטור השני, עם קו הדגמה המחבר "הוסיפו 2 ל-a" ל-a+2

תוכן מתמטי	פיתוח מיומנויות והערות דידקטיות	דוגמאות, יישומים וקישוריות
		16. מיתחו קו בין ביטויים השווים זה לזה:

עמוד 9 מתוך המסמך הרשמי — אלגברה לכיתה ז

תוכן מתמטי	פיתוח מיומנויות והערות דידקטיות	דוגמאות, יישומים וקישוריות
		17.2, 5, 11, 23, ...כשהאיבר הראשון בסדרה הוא 2, איזו מההוראות הבאות תיצור את האיברים של הסדרה?(א) הוסף/י 1 לאיבר הקודם ואז כפול/י ב-2.(ב) כפול/י את האיבר הקודם ב-2 ואז הוסף/י 1.(ג) כפול/י את האיבר הקודם ב-3 ואז החסר/י 1.(ד) החסר/י 1 מהאיבר קודם ואז כפול/י ב-3.18.(3, 6), (6, 15), (8, 21)איזה מהמשפטים מתאר כיצד מקבלים את המספר השני מהמספר הראשון בכל זוג סדור שלעיל?(בזוג הסדור (3, 6) לדוגמה, 3 הוא המספר הראשון ו-6 הוא המספר השני).(א) להוסיף 3(ב) לחסר 3(ג) לכפול ב-2(ד) לכפול ב-2 ואז להוסיף 3(ה) לכפול ב-3 ואז לחסר 3

עמוד 10 מתוך המסמך הרשמי — אלגברה לכיתה ז

תוכן מתמטי	פיתוח מיומנויות והערות דידקטיות	דוגמאות, יישומים וקישוריות
		19.א. הסבירו במילים את סדר הפעולות שיש לבצע בביטויים הבאים, לאחר הצבת מספר במקום t: $t + 20$ $20 t + 10$ $2 (t + 3)$ ב. התאימו כל אחד מהביטויים הללו, לאחד התיאורים המילוליים הבאים: i. הציון של נבו במבחן גבוה מהציון של חן ב-20 נקודות. ii. עברנו דרך בהליכה של 10 ק"מ, ואז המשכנו בדרך על אופנוע במהירות 20 קמ"ש, במשך זמן מה. iii. המחיר של העגבניות התייקר השבוע ב-3 ₪ לק"ג, ולכן קניתי רק שני ק"ג עגבניות ושילמתי עליהם. 20. מחיר ק"ג עגבניות בחנות הוא a שקלים ומחיר ק"ג מלפפונים הוא b שקלים. כתבו ביטוי אלגברי המבטא את עלותם הכוללת של 3 ק"ג עגבניות ו-2 ק"ג מלפפונים בחנות זו.21. מחיר ק"ג עגבניות בשוק נמוך ב-2 שקלים ממחירו בחנות, ומחיר ק"ג מלפפונים הוא 3/4 ממחירו בחנות. כתבו ביטוי אלגברי המבטא את עלותם הכוללת של 3 ק"ג עגבניות ו-2 ק"ג מלפפונים בשוק.

עמוד 11 מתוך המסמך הרשמי — אלגברה לכיתה ז

מצולע (מרובע) עם צלעות שאורכיהן b, c, b−2 ו-c−b

תוכן מתמטי	פיתוח מיומנויות והערות דידקטיות	דוגמאות, יישומים וקישוריות
		22. ידוע כי a+b=5. חשבו: $2 (a + b)$ $2 a + 2 b - 4$ $\frac{a + b}{5}$ $(a + b) (a + b)$ 23. א. מה הביטוי המייצג את היקף המצולע שבסרטוט? ב. נתון: b=11 ו-c=16. חשבו את היקף המצולע.24. נתון ביטוי אלגברי $5 b - 1.5 c$ א. מהו ערכו של הביטוי עבור b=5 ו-c=1.5 ב. מהו ערכו של הביטוי עבור b=2 ו-c=-3 ג. מהו ערכו של הביטוי עבור b=-4 ו-c=3.75 ד. מהו ערכו של הביטוי עבור b=0 ו-c=-9

עמוד 12 מתוך המסמך הרשמי — אלגברה לכיתה ז

תוכן מתמטי	פיתוח מיומנויות והערות דידקטיות	דוגמאות, יישומים וקישוריות
		25. נתון ביטוי אלגברי $h^{3} + 4 k^{2} - 4$ א. מהו ערכו של הביטוי עבור h=2 ו-k=1.5 ה. מהו ערכו של הביטוי עבור h=-2 ו-k=3 ו. מהו ערכו של הביטוי עבור h=-1 ו-k=2 ז. מהו ערכו של הביטוי עבור k=0 ו-h=4

עמוד 13 מתוך המסמך הרשמי — אלגברה לכיתה ז

איור: אדם משחרר כדור מראש צוק, וחץ המסמן נפילה של 3 שניות עד הקרקע

תוכן מתמטי	פיתוח מיומנויות והערות דידקטיות	דוגמאות, יישומים וקישוריות
		שאלות מסכמות1. אריאל הפיל כדור מראש של צוק וגילה שהכדור הגיע לקרקע 3 שניות לאחר שהוא הפיל אותו. בעזרת חוקי פיסיקה אנו יודעים שאפשר לחשב בערך את הגובה (h) (במטרים) של הצוק במטרים בעזרת הנוסחה: $h = 5 t^{2}$ . t מייצג את מספר השניות הנדרשות לכדור שמפילים מראש הצוק להגיע עד לקרקע. (הנוסחה מספקת תוצאה קרובה למציאות.)(1) מהו בערך הגובה של הצוק? בחרו את התשובה הנכונה: א. 15 מטרים ב. 30 מטרים ג. 45 מטרים ד. 225 מטרים (2) אריאל הפיל כדור זהה מראש של צוק אחר. הוא גילה שהכדור הגיע לקרקע 2 שניות לאחר שהוא הפיל אותו.א. איזה מבין שני הצוקים גבוה יותר? הסבירו את תשובתכם.ב. מהו הפרש בין הגבהים של הצוקים?

עמוד 14 מתוך המסמך הרשמי — אלגברה לכיתה ז

כרטיס "אוריינות בקטנה": איור רובוט וילדה עם מסך, ובועת דיבור עם השאלה על חיישן מחשב מרחק — חיישן מחשב מרחק

תוכן מתמטי	פיתוח מיומנויות והערות דידקטיות	דוגמאות, יישומים וקישוריות
		2.איך הרובוט יודע לשמור מרחק ולא מתנגש באובייקטים סביבו? חיישן מחשב מרחק שאלון לתלמיד

עמוד 15 מתוך המסמך הרשמי — אלגברה לכיתה ז

תוכן מתמטי

פיתוח מיומנויות והערות דידקטיות

דוגמאות, יישומים וקישוריות

3. מגזין רכב משתמש בשיטת דירוג כדי להעריך מכוניות חדשות, ומעניק את התואר "מכונית השנה" למכונית בעלת הציון הכולל הגבוה ביותר. המגזין העריך חמש מכוניות חדשות, והדירוגים שלהן מוצגים בטבלה.

מכונית	מאפייני בטיחות (S)	יעילות ניצול דלק (F)	מראה חיצוני (E)	אבזור פנימי (T)
Ca	3	1	2	3
2M	2	2	2	2
Sp	3	1	3	2
1N	1	3	3	3
KK	3	2	3	2

משמעות הדירוג היא: 3 נקודות = מצוין 2 נקודות = טוב 1 נקודה = סבירא. כדי לחשב את הציון הכולל של כל מכונית, השתמש מגזין הרכב בכלל שלפניכם, שהוא הסכום המשוקלל של הנקודות בדירוגים השונים:הציון הכולל

= (3 \cdot S) + F + E + T

חשבו את הציון הכולל של מכונית "Ca". כתבו את תשובתכם בשורה שלמטה.הציון הכולל של "Ca": ........................ב. היצרן של מכונית "Ca" טען שהכלל שלפיו נקבע הציון הסופי לא הוגן. כתבו כלל לחישוב הציון שלפיו המכונית "Ca" תנצח.הכלל שלכם צריך לכלול את כל ארבעת המשתנים, וכדי לכתוב אותו, עליכם למלא את ארבעת המקומות בנוסחה שלפניכם במספרים חיוביים.

עמוד 16 מתוך המסמך הרשמי — אלגברה לכיתה ז

ארבע התמונות הראשונות בסדרה: איברים בצורת פלוס הבנויים מנקודות, הולכים וגדלים

תוכן מתמטי	פיתוח מיומנויות והערות דידקטיות	דוגמאות, יישומים וקישוריות
		הציון הכולל $= \cdot S + \cdot F + \cdot E + \cdot T$
שוויון בין ביטויים אלגבריים	חשיבה כמותית ולוגית. הכללה והפשטה הַקְשָׁרָה למציאות ומידול מתמטי אוריינות מתמטית הנמקה והצדקהשני ביטויים אלגבריים נקראים שווים (זהים) אם לשניהם אותו ערך מספרי עבור כל הצבה אפשרית של מספרים.משמעות סימן השוויון בין ביטויים אלגבריים היא זהות בין שני האגפים.בהמשך ילמדו כי לסימן שוויון יש משמעות נוספת (משוואה).דגשים: בשלב זה, הזהות בין ביטויים אלגבריים נובעת מדרכים שונות של תיאור אותן סיטואציות בהקשרים מתמטיים או מעשיים, ללא פישוט אלגברי. יש לבסס תובנה של מושג השוויון בין ביטויים אלגבריים, כאשר שני הביטויים שרשומים משני צדדיו של השוויון יכולים להיות שונים מבחינה הייצוג האלגברי שלהם, אבל זהים מבחינת המשמעות האלגברית. בשלב זה, ביטויים אלגבריים שווים יתורגלו רק בדוגמאות שבהם משתנה אחד בלבד.	קישוריות: כל תחומי הידע במתמטיקה ובמדעים, כולל סטטיסטיקה וחיי יומיום.1. בסרטוט מופיעות 4 התמונות הראשונות בסדרת תמונות: דוד, שרית ואוסנת הציעו דרכים שונות להתבונן ולהכליל מהו מספר הנקודות בתמונות.n הוא מספר סידורי של תמונה בסדרה.דוד: הנקודה במרכז ועוד 4 זרועות עם $n - 1$ נקודות בכל אחד: $4 (n - 1) + 1$ שרית: שורה אופקית עם $2 n - 1$ נקודות ועוד שתי זרועות למעלה ולמטה עם $n - 1$ נקודות בכל אחד: $2 n - 1 + 2 (n - 1)$ אוסנת: שני ניצבים עם $2 n - 1$ נקודות בכל אחד, כאשר המרכז נספר פעמיים: $2 (2 n - 1) - 1$ א. מי מהם הציג ביטוי אלגברי שמתאר את מספר הנקודות בכל תמונה?ב. האם אותה הצבה של מספר בשלושת הביטויים נותנת תמיד אותה תוצאה מספרית?

עמוד 17 מתוך המסמך הרשמי — אלגברה לכיתה ז

מלבן ירוק (חלקה) 20 מטר על a, ובתוכו מלבן אדום (בית) 10 מטר על a/2

תוכן מתמטי	פיתוח מיומנויות והערות דידקטיות	דוגמאות, יישומים וקישוריות
		2. בסרטוט שלפניכם חלקת אדמה מלבנית, שבתוכה בנוי בית מלבני עם גג אדום. בשטח שמסביב לבית גדל דשא. אורכו של הבית הוא חצי מאורך החלקה, ורוחבו של הבית הוא חצי מרוחב החלקה, כמתואר בסרטוט: א. נבו אמר: כדי למצוא את שטח הדשא, אחסר את השטח של הבית משטח החלקה כולה. מהו הביטוי האלגברי שאליו הגיע נבו? האם הוא צודק?ב. אלה אמרה: שטח הבית הוא רבע משטח החלקה, לכן כדי למצוא את שטח הדשא, אכפול את שטח החלקה כולה פי 0.75. מהו הביטוי האלגברי שאליו הגיעה אלה? האם היא צודקת?ג. האם לכל ערך מספרי של a, שני הביטויים שמצאתם בסעיפים הקודמים שווים?3. במסגרת מבצע הוזלות ירד מחיר המנגו באחת מרשתות השיווק ב-2 ₪ לכל ק"ג. הדס ואלה החליטו לקנות 5 ק"ג מנגו כל אחת.

עמוד 18 מתוך המסמך הרשמי — אלגברה לכיתה ז

תוכן מתמטי	פיתוח מיומנויות והערות דידקטיות	דוגמאות, יישומים וקישוריות
		נסמן באות m את המחיר המקורי של ק"ג מנגו.קבעו מי צודקת:הדס או אלה?הדס: התשלום שעלי לשלם לאחר ההוזלה הוא: $5 (m - 2)$ .אלה: אני מקבלת הוזלה של 10 ₪ ביחס לשבוע הקודם, ולכן עלי לשלם $5 m - 10$ .4. האם הביטויים $a \cdot a$ ו- $a^{2}$ הם ביטויים שווים? הסבירו.
כינוס איברים דומים	חשיבה כמותית ולוגית. הכללה והפשטה הַקְשָׁרָה למציאות ומידול מתמטי אוריינות מתמטית הנמקה והצדקה	קישוריות: כל תחומי הידע במתמטיקה ובמדעים, כולל סטטיסטיקה וחיי יומיום.1. הביטוי $p + p + p$ שווה לביטוי $3 \cdot p$ משיקולים אינטואיטיביים ומהגדרת הכפל.2. הביטוי $a + 7 + 2 a - 2$ שווה לביטוי $2 a + 7 + a - 2$ משיקולים אינטואיטיביים ושווה לביטוי $3 a + 5$ .3. הביטוי $\frac{2 m}{5}$ שווה לביטוי $\frac{2}{5} m$ . יש לבסס שוויון זה על אופן ביצוע הכפל של מספר בשבר.4. השוויונות הבאים נובעים מההצגות השקולות של פעולת החילוק, ומחוק הפילוג: $(a + 3) : 2 = \frac{a + 3}{2} = \frac{a}{2} + \frac{3}{2}$ דגשים:

עמוד 19 מתוך המסמך הרשמי — אלגברה לכיתה ז

מלבן שגובהו x, מחולק לשני חלקים ברוחב 2 וברוחב 3

תוכן מתמטי	פיתוח מיומנויות והערות דידקטיות	דוגמאות, יישומים וקישוריות
	לכינוס של כפולות שונות של אותו משתנה קוראים "כינוס איברים דומים". כינוס איברים דומים מסתמך על כללי פעולות החשבון. כללי החשבון נלמדו ביסודי ובתחום המספרי (חוקי החילוף, הקיבוץ והפילוג), יש להיעזר בהם ולא ללמד מחדש. כלל החשבון שאותו יש להדגיש הוא חוק הפילוג. בשלב זה, ניתן לשלב שני משתנים, וכן שימוש בשברים פשוטים. במידת הצורך, מומלץ להיעזר באמצעי המחשה. התלמידים ילמדו לזהות אם שני ביטויים אלגבריים שווים באמצעות חוקי החשבון הנלמדים בתחום המספרי (חוקי החילוף, חוקי הקיבוץ וחוק הפילוג). חוקי החשבון מאפשרים להמיר ביטויים אלגבריים בביטויים אלגבריים ששווים להם אך פשוטים יותר. פישוט ביטויים אלגבריים יהיה בהמשך כלי לצורך פתרון משוואות. בהקשר זה, יש לתרגל פעולות בשברים, ובפרט להציג את השקילות בין סימן החילוק ' : ' לבין קו השבר.	5. לפניכם מלבן המורכב משני חלקים. דני ויוסי מצאו את שטח המלבן בדרכים שונות: מי צודק? אולי שניהם טועים?א. יוסי אמר: $2 x + 3 x = (x + x) + (x + x + x) = 5 x$ ב. דני אמר: $2 x + 3 x = (2 + 3) x = 5 x$ 6. סרגל עולה k שקלים ועט עולה m שקלים. חברו בקו בין התיאור המילולי לייצוג האלגברי:המחיר של 5 עטים המחיר של 5 עטים ו-5 סרגלים ההפרש בין מחיר של 5 עטים לבין המחיר של 5 סרגלים העודף מ-5 שקלים כשמשלמים עבור 5 עטים $5 k$ $5 m$ $5 - 5 m$ $500 - 5 m$ $5 k + m$ $5 (k + m)$ $5 m - 5 k$ $5 k - 5 m$

עמוד 20 מתוך המסמך הרשמי — אלגברה לכיתה ז

תוכן מתמטי

פיתוח מיומנויות והערות דידקטיות

דוגמאות, יישומים וקישוריות

7. חברו בין הביטויים האלגבריים בטור א לבין הביטויים השווים להם בטור ב:

טור א	טור ב
$2 a + 5$	$8 a + 5$
$3 a - a$	$\frac{1}{2} \cdot a$
$4 (a + 1)$	$4 a + 4$
$6 a + 2 a + 5$	$15 a$
$5 \cdot 3 a$	$5 + 2 a$
$\frac{a}{2}$	$2 a$

עמוד 21 מתוך המסמך הרשמי — אלגברה לכיתה ז

תוכן מתמטי	פיתוח מיומנויות והערות דידקטיות	דוגמאות, יישומים וקישוריות
משוואות וזיהוי פתרונן	חשיבה כמותית ולוגית הכללה והפשטה חשיבה ביקורתית הַקְשָׁרָה למציאות ומידול מתמטי מעבר בין ייצוגים שונים יכולת התרגום בין תיאור מילולי לתיאור אלגברי היא יסודית לצורך אוריינות מתמטית אוריינות מתמטית קריאה והבנה של מלל קצר ופשוט מיון וסיווג ביצוע ויישום הנמקה והצדקההמטרה העיקרית היא להכיר לתלמידים את המושג 'משוואה' ואת המשמעות של פתרון משוואה.נעלם הוא סימן שמייצג ערך (או קבוצת ערכים) לא ידוע שמופיע בהקשר של משוואה או שאלה מילולית.משוואה בנויה משני ביטויים אלגבריים, שלפחות באחד מהם יש נעלם, ובין הביטויים יש סימן שוויון.	קישוריות: כל תחומי הידע במתמטיקה ובמדעים, כולל חיי יומיום.1. לפניכם משוואות עם ערכים מספריים שעשויים להיות פתרונות של המשוואות. בדקו בעזרת הצבה, מי מהם הוא פתרון למשוואה ומי איננו פתרון. א. נתונה המשוואה: $x - 10 = 5$ . האם $x = 5$ הוא פתרון של המשוואה? ב. נתונה המשוואה: $4 x^{2} - 2 = 2 x$ . האם $x = 1$ הוא פתרון של המשוואה? ג. נתונה המשוואה: $4 x^{2} - x = 10$ . האם $x = 2$ הוא פתרון של המשוואה? ד. נתונה המשוואה: $x^{2} + 6 = 5 x$ . האם $x = 2$ הוא פתרון של המשוואה? האם $x = 3$ הוא פתרון של המשוואה? ה. נתונה המשוואה: $x^{3} - 7 x = 6$ . האם $x = 3$ הוא פתרון של המשוואה? ו. נתונה המשוואה: $x^{3} - 7 x = - 6$ . האם $x = 2$ הוא פתרון של המשוואה? האם $x = 1$ הוא פתרון של המשוואה? ז. נתונה המשוואה: $(3 + x)^{2} + (x - 2) (x - 4) = 49$ . האם $x = 4$ הוא פתרון של המשוואה? האם $x = 5$ הוא פתרון של המשוואה? 2. נתונה המשוואה: $x^{3} + x = □$ מה צריך לכתוב במשבצת כדי שפתרון המשוואה יהיה 1?3. סמנו את המשוואה שפתרונה הוא $x = 10$

עמוד 22 מתוך המסמך הרשמי — אלגברה לכיתה ז

תוכן מתמטי	פיתוח מיומנויות והערות דידקטיות	דוגמאות, יישומים וקישוריות
	פתרון של משוואה הוא המספר (או קבוצת המספרים) שהצבתו במקום הנעלם מביאה לשוויון מספרי בין שני אגפי המשוואה.דגשים: יש לזהות ערכים מספריים של נעלם שמהווים פתרונות משוואה. יש לדעת להרכיב משוואות שתהיינה מבוססות על שאלות מילוליות (המעבר מייצוג מילולי לייצוג אלגברי). הרכבת המשוואות יכולה להיות מבוססת על מגוון דרכים ובהן: א. בניה מדורגת של ביטויים אלגבריים, תוך רישום מילולי של המשמעות של כל ביטוי אלגברי. ב. ייצוג הנתונים באמצעות ביטויים אלגבריים בטבלה. היות שהמשוואות מבוססות על מצבים מציאותיים, הפתרונות הפוטנציאליים חייבים להתאים להקשר השאלה. יש להפעיל שיקול דעת לגבי היתכנות של פתרון משוואה בהתאם להקשר יישומי.	$40 x = 5 x + 100$ $2 x - 2 = x + 8$ $3 x + 12 = 100$ $4 x - 4 = 30 x + 1$ 4. סמנו את שתי המשוואות שפתרונן הוא x=0.5 $2 x + 5 = 6 x + 3$ $x = 1 + x$ $10 x + 6 = 8 x + 7$ $3 + 3 x = 6$ 5. הקיפו את השאלה שאפשר לייצג בעזרת המשוואה: $3 x = 270$ א. החשבון במסעדה היה 270 שקלים. המחיר כולל 30 שקלים לתשר, מה המחיר של (x) של הארוחה ללא התשר? ב. החשבון במסעדה עבור מנה עיקרית וקינוח הוא 270 שקלים. מחיר המנה העיקרית היה פי 3 ממחיר הקינוח. מה המחיר של (x) של הקינוח? ג. שלושה חברים יצאו למסעדה. כל אחד מהם שילם 270 שקלים. מה המחיר הכולל (x) של הארוחה? ד. שלושה חברים יצאו למסעדה. הם שילמו בסך הכול 270 שקלים. אם הם יתחלקו בהוצאה שווה בשווה, מה הסכום (x) שכל אחד מהם ישלם?

תוכן מתמטי

פיתוח מיומנויות והערות דידקטיות

דוגמאות, יישומים וקישוריות

פתרון של משוואה הוא המספר (או קבוצת המספרים) שהצבתו במקום הנעלם מביאה לשוויון מספרי בין שני אגפי המשוואה.דגשים:

יש לזהות ערכים מספריים של נעלם שמהווים פתרונות משוואה.
יש לדעת להרכיב משוואות שתהיינה מבוססות על שאלות מילוליות (המעבר מייצוג מילולי לייצוג אלגברי).
הרכבת המשוואות יכולה להיות מבוססת על מגוון דרכים ובהן:
א. בניה מדורגת של ביטויים אלגבריים, תוך רישום מילולי של המשמעות של כל ביטוי אלגברי.
ב. ייצוג הנתונים באמצעות ביטויים אלגבריים בטבלה.
היות שהמשוואות מבוססות על מצבים מציאותיים, הפתרונות הפוטנציאליים חייבים להתאים להקשר השאלה.
יש להפעיל שיקול דעת לגבי היתכנות של פתרון משוואה בהתאם להקשר יישומי.

$40 x = 5 x + 100$
$2 x - 2 = x + 8$
$3 x + 12 = 100$
$4 x - 4 = 30 x + 1$

4. סמנו את שתי המשוואות שפתרונן הוא x=0.5

$2 x + 5 = 6 x + 3$
$x = 1 + x$
$10 x + 6 = 8 x + 7$
$3 + 3 x = 6$

5. הקיפו את השאלה שאפשר לייצג בעזרת המשוואה:

3 x = 270

א. החשבון במסעדה היה 270 שקלים. המחיר כולל 30 שקלים לתשר, מה המחיר של (x) של הארוחה ללא התשר?
ב. החשבון במסעדה עבור מנה עיקרית וקינוח הוא 270 שקלים. מחיר המנה העיקרית היה פי 3 ממחיר הקינוח. מה המחיר של (x) של הקינוח?
ג. שלושה חברים יצאו למסעדה. כל אחד מהם שילם 270 שקלים. מה המחיר הכולל (x) של הארוחה?
ד. שלושה חברים יצאו למסעדה. הם שילמו בסך הכול 270 שקלים. אם הם יתחלקו בהוצאה שווה בשווה, מה הסכום (x) שכל אחד מהם ישלם?

עמוד 23 מתוך המסמך הרשמי — אלגברה לכיתה ז

תוכן מתמטי	פיתוח מיומנויות והערות דידקטיות	דוגמאות, יישומים וקישוריות
		6. שאלות שדורשות בניית משוואה בהקשר גאומטרי, אמורות להתבסס על החומר שנלמד בגאומטריה עד כה.6. בית ספר "אלונים" קנה לשיעורי חינוך גופני 18 כדורים שמחירם זהה. אם יתייקר כל כדור ב-6 ש"ח, יוכל בית הספר לקנות רק 15 כדורים באותו סכום שקנה את הכדורים.סמנו ב-x את מחיר הכדור המקורי לפני ההתייקרות.בנו משוואה המתארת את מה שנתון בתרגיל.הסבירו את דרך הפתרון (כולל הסבר מילולי של משמעות הביטויים האלגבריים בכל אחד מאגפי המשוואה).התשובה האפשרית:מחיר כל כדור בש"ח $x$ תשלום כולל בש"ח $18 x$ מחיר חדש של כל כדור בש"ח $x + 6$ תשלום כולל חדש בש"ח $15 (x + 6)$ תשלום כולל = תשלום כולל חדש $18 x = 15 (x + 6)$ 7. אילנה קנתה 5 חטיפי תמרים, 4 חפיסות מסטיקים ו-7 חטיפי אגוזים. מחיר חפיסת מסטיקים זול ב-0.5 ש"ח ממחיר חטיף תמרים. מחיר חטיף אגוזים יקר ב-3 ש"ח ממחיר חטיף תמרים.אילנה שילמה בסך-הכול 75 ש"ח.סמנו ב- $x$ ₪ מחיר של חטיף אחד של תמרים.א. בנו משוואה המתארת את מה שנתון בתרגיל. הסבירו את דרך הפתרון (כולל כתיבת הביטויים האלגבריים בכל אחד מאגפי המשוואה).ב. בחרו את פתרון המשוואה שקיבלת. נמקו את תשובתכם.(1) 5 ש"ח (2) 4- ש"ח (3) 3.5 ש"ח (4) 0.2 ש"ח

עמוד 24 מתוך המסמך הרשמי — אלגברה לכיתה ז

עמוד 25 מתוך המסמך הרשמי — אלגברה לכיתה ז

משולש שווה-צלעות (צלע 10 ס"מ) ומחומש משוכלל (צלע d ס"מ)

עמוד 26 מתוך המסמך הרשמי — אלגברה לכיתה ז

שתי קרניים היוצרות זווית של 150° בקודקוד, וזווית x° מתחתיה, עם סימוני זווית ישרה

תוכן מתמטי	פיתוח מיומנויות והערות דידקטיות	דוגמאות, יישומים וקישוריות
		11. על פי הסרטוט, כתבו משוואה למציאת x. 12. ההיקף של משולש שווה-שוקיים הוא 62 ס"מ.אורך השוק של המשולש גדול ב-13 ס"מ מאורך הבסיס שלו.א. סמנו ב-x את אורך הבסיס של המשולש ובנו משוואה למציאת x.ב. סמנו ב-x את אורך השוק של המשולש ובנו משוואה למציאת x.

עמוד 27 מתוך המסמך הרשמי — אלגברה לכיתה ז

תוכן מתמטי	פיתוח מיומנויות והערות דידקטיות	דוגמאות, יישומים וקישוריות
פתירת משוואות ממעלה ראשונה	חשיבה ביקורתית יושם דגש על בקרה עצמית ורפלקציה לגבי התשובה הסופית ולגבי הדרך. אוריינות מתמטית ביצוע פרוצדורלי קריאה והבנה של מלל קצר ופשוט ביצוע ויישום הנמקה והצדקהדגשים:בשלב התחלתי יש למצוא את הפתרון של משוואה שבה ביטוי אלגברי פשוט שווה מספר משיקולים מספריים. עם זאת הכוונה היא לנצל משוואות פשוטות להיכרות ראשונה עם שיטה אלגברית לפתרון משוואות. יש לאפשר דרכי פתרון מגוונות (שיקולים מספריים וטכניקה אלגברית). פתרון משוואות ממעלה ראשונה יתבצע באמצעות מעבר בין משוואות שקולות, שאינן משנות את קבוצת הפתרונות.	קישוריות: כל תחומי הידע במתמטיקה ובמדעים, כולל סטטיסטיקה וחיי יומיום.1. בעזרת הפעלת שיקול דעת חישובי, פתרו בעל פה את המשוואות הבאות: $3 a - 4 = 11$ $\frac{b + 1}{3} = 7$ $2 (c + 5) = 18$ 2. כתבו משוואה שהפתרון שלה הוא 1.3. נתונה משוואה, ודרך הפתרון שלה. הסבירו בכל שורה מה בוצע, ומדוע זה מוצדק? $10 x 10 x 7 x x = 3 (x + 7) = 3 x + 21 = 21 = 3$

עמוד 28 מתוך המסמך הרשמי — אלגברה לכיתה ז

תוכן מתמטי	פיתוח מיומנויות והערות דידקטיות	דוגמאות, יישומים וקישוריות
	על התלמידים להיות מסוגלים לנמק את פעולותיהם האלגבריות בשלושה היבטים:א. מדוע המעבר ממשוואה אחת למשוואה אחרת שומר על השוויון בין אגפי המשוואה.ב. מדוע המעבר בין המשוואות אינו משנה את קבוצת הפתרונות של המשוואה.ג. כיצד המעבר בין המשוואות מקדם את תהליך מציאת הפתרון. יש לשלב בפתרון משוואות פעולות בביטויים אלגבריים על סמך חוקי הפעולות, ולהסביר שביצוע פעולה על שני אגפי המשוואה שומר על האיזון ביניהם. פתרון משוואות יכלול פישוט ביטויים אלגבריים (המרה לביטויים אלגבריים שווים שמאפשרים להתקדם בפתרון) שמתבסס על כינוס איברים דומים וחוקי חשבון (חוקי החילוף, חוקי הקיבוץ וחוק הפילוג). יש לטפל במשוואות שבהן שני ביטויים אלגבריים הכוללים נעלם בשני האגפים.	4. נתונה המשוואה:15(x+6)=18x. פתרו את המשוואה והסבירו בעל פה כל שלב בפתרון.הערה דידקטית למורה:א. התלמיד ידע להסביר בעל פה שפתיחת סוגריים איננה משנה את הרשום באגף שמאל, אך מפשטת את הביטוי לקראת ההמשך: $15 x + 90 = 18 x$ ב. התלמיד ידע להסביר בעל פה שחיסור אותו מחובר משני האגפים אינו משנה את האיזון ביניהם. $90 = 3 x$ התלמיד ידע להסביר בעל פה שחיסור אותו מחובר משני האגפים עשוי להפוך את המשוואה לפשוטה יותר לטיפול.התלמיד ידע להסביר בעל פה שכל מספר שהצבתו הייתה נכונה קודם, תישאר נכונה גם לאחר חיסור אותו מחובר משני האגפים, וכל מספר שהצבתו הייתה נכונה לאחר חיסור אותו מחובר משני האגפים, הייתה נכונה גם קודם.ג. התלמיד ידע להסביר בעל פה שחילוק שני האגפים ב-3 אינו משנה את האיזון ביניהם. $30 = x$ התלמיד ידע להסביר בעל פה שחילוק שני האגפים ב-3 עשוי להפוך את המשוואה לפשוטה יותר לטיפול.התלמיד ידע להסביר בעל פה שכל מספר שהצבתו הייתה נכונה קודם, תישאר נכונה גם לאחר חילוק שני האגפים ב-3, וכל מספר שהצבתו הייתה נכונה לאחר חילוק שני האגפים ב-3, הייתה נכונה גם קודם.

עמוד 29 מתוך המסמך הרשמי — אלגברה לכיתה ז

תוכן מתמטי	פיתוח מיומנויות והערות דידקטיות	דוגמאות, יישומים וקישוריות
	פתרון מלא כולל בחובו הצבה במשוואה המקורית לצורך בדיקה. יש לשלב את פתרון המשוואות עם שאלות מילוליות ואורייניות בהקשרים מתמטיים והקשרים מעשיים שונים (כגון, תנועה, תהליכים עם קצב קבוע מתחומי מדע, כלכלה, טכנולוגיה, חיי יום יום ועוד). מומלץ לשלב שאלות אלה במקביל להתקדמות בסוגי משוואות שונים. יש לקבל משוואות מתוך שאלות מילוליות ואורייניות העוסקות במגוון תכנים תוך הלימה בין מורכבות המשוואות למורכבות השאלות. כשמתקבל פתרון של משוואה הנובעת משאלה מילולית או אוריינית יש לבדוק האם הפתרון מתאים לסיטואציה של השאלה עצמה ולא להסתפק רק בהצבה במשוואה. (כגון, לא יכול להיות פתרון שהוא שבר לשאלה שבמהותה עוסקת בשלמים).	5. פתרו את המשוואות הבאות, בעזרת מעבר למשוואות שקולות: $8 x - 6 = 3 x + 4$ $3 (y - 2) + 1 = y + 5$ $2 (z + 3) - 5 = 5 (7 - 2 z) + 2$ $6 x + 20 = 4 (2 x + 3)$ $\frac{x + 1}{3} = 7$ $x + \frac{1}{3} x = 5$

עמוד 30 מתוך המסמך הרשמי — אלגברה לכיתה ז

תוכן מתמטי	פיתוח מיומנויות והערות דידקטיות	דוגמאות, יישומים וקישוריות
		6. שאלה לדיון כיתתי (מזמנת שיח מתמטי)התלמידים פתרו את המשוואה הבאה: $7 x + 4 (3 x - 2) = 5 x - 8$ ירון: $7 x + 12 x - 8 = 5 x - 8$ ← (+8) ← $19 x = 5 x$ ← (:x) ← $19 = 5$ ← אין פתרון למשוואה!מיכל: ברור שאין פתרון כי לא יכול להיות ש- $5 x$ יהיה שווה ל- $19 x$ .שירה: $19 x - 8 = 5 x - 8$ ← (+8) ← $19 x = 5 x$ ← (-5x) ← $14 x = 0$ ← $x = 0$ .אלון: ירון ושירה קיבלו אותו דבר. כי "אין פתרון" זה כמו אפס!האם הוא נכון או שגוי? נמקו. התייחסו לכל אחד מהפתרונות.7. נתונות שתי משקולות. האחת כבדה פי 2 מהאחרת. משקלן הכולל הוא $13 \frac{1}{2}$ ק"ג. מה משקל המשקולת הקלה?8. במשולש ישר זווית, זווית חדה אחת קטנה ב-20° מהזווית החדה האחרת. מצאו את גודל הזוויות. (שאלה זו מתאימה אם הרקע הגאומטרי הדרוש כבר נלמד).

עמוד 31 מתוך המסמך הרשמי — אלגברה לכיתה ז

ציר מספרים: דן בקצה אחד ואנה בקצה השני, המרחק ביניהם 14 ק"מ, החצים בכיוונים מנוגדים

תוכן מתמטי	פיתוח מיומנויות והערות דידקטיות	דוגמאות, יישומים וקישוריות
		9. דן גדול מיואב ב-6 שנים. לפני 4 שנים היה גילו של דן פי 2 מגילו של יואב. בני כמה דן ויואב כיום?10. בתחנת דלק א מחיר הדלק 6.45 שקלים לליטר, ועמלת התדלוק בלילה: 4 שקלים. בתחנת דלק ב מחיר הדלק 6.55 שקלים לליטר, ועמלת התדלוק בלילה: 2 שקלים. מהי כמות הדלק שעבורה עלות התדלוק בלילה בשתי התחנות תהיה שווה?11. אנה ודן יוצאים באותו הזמן משני מקומות שונים שהמרחק ביניהם הוא 14 ק"מ. הם צועדים בכיוונים מנוגדים (ראו איור). אנה צועדת במהירות קבועה של 4 קמ"ש, ודן צועד במהירות קבועה של 6 קמ"ש.כעבור כמה זמן מרגע היציאה יהיה המרחק בין אנה לדן 34 ק"מ?

עמוד 32 מתוך המסמך הרשמי — אלגברה לכיתה ז

שני קטעים AB ו-CD הנחתכים בנקודה O, עם הזוויות 5x−40° ו-x

תוכן מתמטי	פיתוח מיומנויות והערות דידקטיות	דוגמאות, יישומים וקישוריות
		12. בסרטוט שלפניכם הקטעים AB ו-CD נחתכים בנקודה O. $x$ מייצג את הגודל של $∠ D OB$ במעלות.בהסתמך על הנתונים, חשבו את הגודל של $∠ A O D$ .כתבו יחידות מתאימות. 13. תשלום לוועד הבית – משימת מאור

עמוד 33 מתוך המסמך הרשמי — אלגברה לכיתה ז

תוכן מתמטי	פיתוח מיומנויות והערות דידקטיות	דוגמאות, יישומים וקישוריות
קריאת תיאור גרפי של נקודות ברביע I	חשיבה כמותית ולוגיתחשיבה ביקורתיתמעבר בין ייצוגים שוניםהַקְשָׁרָה למציאות ומידול מתמטיאוריינות מתמטיתקריאת גרףביצוע ויישוםהנמקה והצדקהדגשים: הגרף משמש לתפיסה חזותית של מידע המוצג באופן מילולי, טבלאי או אלגברי. לכל נקודה בדידה יש זוג מספרים (x,y) היוצרים את הקשר בין y לבין הביטוי האלגברי שמבוטא בעזרת x. יש להדגים תופעות המיוצגות באמצעות גרף ברביע I של מערכת צירים, כך שתלמידים ידעו לקרוא אותו וליצור מתוכו טבלת ערכים חלקית. אף שהנקודות בדידות, יש אפשרות שהערכים של השיעורים שלהן לא יהיו שלמים.	קישוריות: כל תחומי הידע במתמטיקה ובמדעים, כולל חיי יומיום.1. עלות החנייה בחניון היא 10 ₪ לשעה הראשונה, ועוד 3.50 ₪ לכל רבע שעה נוספת. לפניכם גרף המתאר את עלות החנייה בשעות הראשונות.א. קבעו מהי עלות החנייה עבור שעתיים מלאות ועבור 3 שעות מלאות.ב. בגרף הושמטו הנקודות המתאימות בין שעתיים ל-3 שעות חנייה. השלימו את הנקודה המתאימה לתשלום עבור 3 שעות חנייה וחצי.ג. מהו גובה התשלום עבור חנייה של 4 שעות?

עמוד 34 מתוך המסמך הרשמי — אלגברה לכיתה ז

גרף נקודות: ציר x זמן חנייה (שעות), ציר y תשלום; נקודות עולות מ-(1,10) עד (3,38)

תוכן מתמטי	פיתוח מיומנויות והערות דידקטיות	דוגמאות, יישומים וקישוריות
	התלמידים ירכשו את המיומנויות הבאות בקריאת גרף: א. מציאת הערך של y שמתאים לערך נתון של x. ב. מציאת ערך או ערכים של x שמתאימים לערך נתון של y. הביטויים האלגבריים יכולים להיות ליניאריים, או ביטויים פשוטים עם חזקות 2 או 3. התלמידים ידעו לייצג תופעה באמצעות טבלה או ביטוי אלגברי, ולהתאים אותם לייצוגים גרפיים נקודתיים מתאימים נתונים. בשלב זה, כל העיסוק בביטויים יהיה רק במספרים חיוביים ואפס. מומלץ לפתוח את הנושא בקריאת גרף ללא שימוש בביטוי אלגברי, ולסכם אותו עם שימוש בביטוי אלגברי. רצוי להיעזר כלים דיגיטליים גרפיים לסימון נקודות, כהטרמה לשימוש אינטנסיבי בהם בכיתות ח ט. מומלץ להיעזר במשימות סיכום אשר כוללות את מלוא הידע האלגברי שנלמד עד כה.

עמוד 35 מתוך המסמך הרשמי — אלגברה לכיתה ז

גרף נקודות: ציר x שנה, ציר y ממוצע ההישג בטימס; הנקודות (2007,463),(2011,516),(2015,511),(2019,519),(2023,487)

תוכן מתמטי	פיתוח מיומנויות והערות דידקטיות	דוגמאות, יישומים וקישוריות
		2. בגרף שלפניכם מוצג ההישג הממוצע במתמטיקה של תלמידי ישראל במבחן בינלאומי. ההישגים יכולים להיות בין 200 ל-800. א. מה היה ההישג הממוצע בישראל בשנת 2011? ב. באיזו שנה היה ההישג הממוצע בישראל 511? ג. באיזו שנה היה ההישג הממוצע בישראל גבוה ביותר?

עמוד 36 מתוך המסמך הרשמי — אלגברה לכיתה ז

גרף נקודות על רשת: ציר x צלע הריבוע בס"מ, ציר y שטח הריבוע בסמ"ר; הנקודות (0.5,0.25),(1,1),(1.5,2.25),(2,4),(2.5,6.25),(3,9)

תוכן מתמטי	פיתוח מיומנויות והערות דידקטיות	דוגמאות, יישומים וקישוריות
		3. בגרף שלפניכם מוצג השטח של ריבוע בהתאם לאורך הצלע שלו בס"מ. א. כאשר אורך צלע הריבוע הוא 1.5 ס"מ, מהו שטח הריבוע?ב. מה יכול להיות האורך של צלע הריבוע, אם ידוע ששטחו הוא בין 3 סמ"ר לבין 7 סמ"ר? בתשובה יש להתייחס רק לנקודות שמופיעות בגרף.ג. נסמן באות $x$ את אורך הצלע של הריבוע בס"מ. נסמן באות $y$ את שטח אותו ריבוע בסמ"ר. רשמו באמצעות $x$ את הביטוי האלגברי שמבטא את שטח הריבוע: $y =$ .......

עמוד 37 מתוך המסמך הרשמי — אלגברה לכיתה ז

תוכן מתמטי	פיתוח מיומנויות והערות דידקטיות	דוגמאות, יישומים וקישוריות
		4. בספריית המתנ"ס בשכונת תלפיות יש 1300 ספרים, ובכל שנה רוכשים 100 ספרים חדשים. בספריית המתנ"ס בשכונת ארנונה יש רק 800 ספרים, ובכל שנה רוכשים 150 ספרים חדשים. לפניכם גרף שבו מתוארים בצבעים שונים מספר הספרים בכל ספריה.א. התאימו כל סדרת נקודות לספריית המתנ"ס המתאימה.ב. כמה ספרים היו בספריית המתנ"ס בארנונה כעבור 3 שנים?ג. כעבור כמה שנים היו בספריית המתנ"ס בארנונה 1400 ספרים? כעבור כמה שנים היו בספריית המתנ"ס בתלפיות 1400 ספרים?ד. סמנו ב-t את מספר השנים שחלפו, ורשמו ביטוי אלגברי המתאר את מספר הספרים בכל ספריה?ה. בהנחה שקצב רכישת הספרים בשתי הספריות יישמר, כעבור כמה שנים יהיה בשתי הספריות אותו מספר ספרים?ו. באיזו ספריה יהיו יותר ספרים כעבור 15 שנה?

עמוד 38 מתוך המסמך הרשמי — אלגברה לכיתה ז

עמוד 39 מתוך המסמך הרשמי — אלגברה לכיתה ז

תוכן מתמטי

פיתוח מיומנויות והערות דידקטיות

דוגמאות, יישומים וקישוריות

דוגמה לדגש 10

5. במשתלה מסוימת אפשר לקנות פרחים בשתי דרכים: בחנות המשתלה, או באתר האינטרנט של המשתלה. בקנייה בחנות המחיר של כל פרח הוא 7.5 ₪. בקנייה באתר האינטרנט המחיר של כל פרח הוא 5 ₪, ונוסף על כך יש לשלם 50 ₪ בעבור משלוח.א. מלאו את הטבלה הבאה ורשמו את התשלומים עבור קנייה של זרי פרחים בשתי הדרכים:

מספר הפרחים בזר	5	10	15	20	25	30
קנייה בחנות
קנייה באתר האינטרנט

ב. במערכת צירים בגאוגברה היעזרו בסמליל נקודה , וסמנו את הנקודות המתאימות לערכים שהתקבלו בטבלה שמילאתם. סמנו כל אחת מסדרת הנקודות בצבע שונה.ג. התבוננו בנקודות שהתקבלו, וענו על השאלה הבאה: מה יכול להיות מספר הפרחים בזר, כדי שיהיה זול יותר לקנות באתר האינטרנט של המשתלה?

עמוד 40 מתוך המסמך הרשמי — אלגברה לכיתה ז

תוכן מתמטי

פיתוח מיומנויות והערות דידקטיות

דוגמאות, יישומים וקישוריות

שאלה מסכמתא. קחו דף נייר מלבני, מדדו את אורכו ואת רוחבו ומצאו את שטחו.ב. קפלו את הנייר לשני חלקים שווים. מהו השטח החדש?ג. המשיכו לקפל את הנייר באותו אופן כל עוד זה אפשרי. הכינו טבלה ורשמו בה את מספר הקיפולים של הדף, ואת השטח המתקבל בכל פעם.

מספר הקיפולים	1	2	3	4
שטח הדף המקופל

ד. סרטטו את מערכת הצירים שבה על ציר ה-x מסמנים את מספר הקיפולים ועל ציר ה-y את שטח המלבן שמתקבל לאחר כל קיפול. במערכת צירים סמנו את הנקודות המתאימות לערכים שהתקבלו בטבלה שמילאתם.