עקרונות והנחיות לכתיבת פתרונות בבחינות בגרות

שלום רב למורים למתמטיקה בחטיבה העליונה.

מסמך זה מחליף חוזרים קודמים, ומטרתו לחדד ולהדגיש את עקרונות הבדיקה ואת ההנחיות לכתיבת הפתרונות בבחינות הבגרות במתמטיקה.

חשוב לדאוג שתהליך הלמידה יתבסס על איזון בין הבנה ומיומנויות לבין פרוצדורות טכניות, תוך מתן דגש על משמעות והדרגתיות. חשוב להטמיע בתלמידים את היכולת להראות חשיבה, ובהתאם לכך להציג את כל שלבי הפתרון — הנמקה, הסברים, גיוון דרכי פתרון ופיתוח חשיבה — במענה לשאלות, הן בשיעורים והן במבדקים, לכל אורך הלמידה.

הנחיות כלליות לכתיבת הפתרונות

יש לכתוב תשובות מלאות והסבר הכוללות נימוק מלא, ולהציג את דרך הפתרון — את כל השלבים המובילים אליו. כתיבת תשובה סופית ללא דרך פתרון לא תיבדק, ועלולה לגרום לחשד באי-קיום טוהר הבחינה.
השאלות תיבדקנה לפי סדר פתרונן במחברת הבחינה. אם עונים על יותר שאלות מהנדרש לפי חוקי המענה, תיבדקנה רק התשובות הראשונות במחברת לפי סדר הכתיבה.
אם פותרים שאלה מסוימת מספר פעמים ומשאירים את כל הפתרונות — ייבדק הפתרון הראשון בלבד. יש למחוק פתרון של שאלה שלא מעוניינים שייבדק.
אם בראש עמוד נכתב "טיוטה", כל מה שכתוב בעמוד זה ייחשב כטיוטה ולא ייבדק. אם רוצים שרק חלק מהדף ייבדק, יש לפסול את הקטע שלא לבדיקה על-ידי העברת קו עליו — ולא לרשום "טיוטה".
יש להתחיל לפתור כל שאלה בדף חדש.
אפשר לכתוב במחברת הבחינה על שני צידי הדף.
אין לגזור שרטוטים מטופס הבחינה ולצרף או להדביק אותם למחברת הבחינה — הדבר לא יאפשר את סריקת המחברת.
אין לכתוב בעט מחיק או בעט בעל דיו בהיר, כדי שהפתרון יהיה קריא לאחר הסריקה. אם משתמשים במרקר — עליו להיות בהיר.
פתרון שנכתב על הנוסחאון או על טופס הבחינה אינו נסרק ואינו נבדק, ולכן עלול לפגוע בציון הבחינה ולגרום לחשד באי-קיום טוהר הבחינה. לא יתקבל ערעור על אי-קיום טוהר הבחינה בנימוק שהפתרון נכתב על הנוסחאון או על טופס הבחינה.

הפעולות המותרות במחשבון

פעולות חשבון במספרים.
חישוב ערכי פונקציות טריגונומטריות, לוגריתמיות ומעריכיות.
פתרון משוואה ריבועית — ל-4־5 יח״ל בלבד (למעט פתרון משוואה במספרים מרוכבים, גם כאשר המקדמים ממשיים).
פתרון משוואות טריגונומטריות בסיסיות בלבד — מציאת ערך הביטוי ⁦x⁩ כאשר ⁦sin x = a, cos x = a, tan x = a⁩.
חישוב ערך של ביטוי, כגון ⁦eˣ⁩ או ⁦n!⁩ (עצרת).
ב-4 יח״ל: חישוב שטח מתחת לעקומה הנורמלית הסטנדרטית משמאל לציון תקן, ולהפך — חישוב ערך של ציון תקן על פי השטח שמשמאלו.

בסעיפים שבהם כתוב "נמקו": יש לנמק באופן אלגברי, מילולי או גרפי. ללא נימוק — לא יינתנו נקודות לסעיף זה.
שימוש בכלים מתמטיים שאינם בתוכנית הלימודים דורש הסבר (כגון כפל וקטורי, כלל לופיטל, משפט גיאומטרי וכדומה). ההסבר כולל ניסוח הגדרה ו/או משפט מתאים והוכחת קיום תנאי המשפט. אחרת לא יינתנו נקודות לסעיף שקשור לכך. עצם השימוש בנוסחאות או בטכניקות שאינן בתוכנית הלימודים אינו פסול, בתנאי שמראים הבנה בתהליכים אלה.
הוכחה של מקרה כללי אינה יכולה להתבסס על בדיקה של מקרים פרטיים בלבד (כגון הוכחת זוגיות/אי-זוגיות של פונקציה, או הוכחה שסדרה היא חשבונית/הנדסית). בדיקת מקרים פרטיים בלבד לא תתקבל. הערה: במקרה שבו יש להוכיח שתכונה אינה מתקיימת — מספיק לתת דוגמה נגדית.
אין לנחש פתרון. פתרון המבוסס על ניחוש לא ייבדק. המשך פתרון המבוסס על ניחוש — גם אם הניחוש נכון — עלול לגרום לחשד באי-קיום טוהר הבחינה.
כאשר משתמשים בנוסחאות, יש להראות את ההצבות במחברת הבחינה.
ניתן להסתמך במהלך הפתרון על סעיף קודם שלא נפתר (פרט למקרה שבו תשובת הסעיף הקודם מבוססת על ניחוש).
העתקה שגויה של ביטוי או נתון מהשאלון תגרום להורדת ניקוד. אם רמת הקושי של השאלה השתנתה בעקבות זאת בצורה משמעותית — ההורדה תהיה עד כדי פסילת השאלה.
במקרה של הנחה שגויה — לא מתקבל ניקוד לשאלה זו. למשל, הוכחה בגיאומטריה על סמך הנחה מקלה או בניית עזר לא נכונה לא תתקבל.
ההחלטה על מספר הנקודות שמורידים על טעות תלויה באופי השגיאה ובהשפעתה על המשך הפתרון: רמת הקושי, המשך השאלה שנוצר בעקבות השגיאה וכדומה. במקרה של טעות מהותית מקבלים נקודות רק בסעיפים שאינם קשורים לטעות. לדוגמה, קבלת הסתברות גדולה מ-1 והשימוש בתוצאה זו גם בהמשך השאלה מובילים להורדת הניקוד בכל הסעיפים הקשורים לתוצאה זו.
ניקוד סעיפי השאלות בבחינת הבגרות אינו מתחלק שווה בשווה בין הסעיפים, אלא תלוי ברמת הקושי של הסעיף יחסית לסעיפים האחרים ובמספר שלבי הפתרון הדרושים בו.
אם מכניסים סימון של משתנה חדש — יש להגדירו בצורה ברורה.
על טעות חישובית מורידים כ-10%, כל עוד הטעות אינה גורמת לשינוי מהותי בשאלה.
בשאלות בגיאומטריה ובטריגונומטריה, בכל הרמות: יש להגדיר זווית בעזרת סימון בשרטוט, או על-ידי 3 אותיות במחברת הבחינה, או בעזרת אות אחת וציון המשולש שהזווית שייכת אליו.

הנחיות לפי רמות הלימוד

רמה 3 יח״ל

כל החישובים צריכים להיות כתובים במחברת הבחינה.
בפתרון משוואה ריבועית נדרש להראות דרך פתרון — על ידי הצבה בנוסחת השורשים או על ידי פירוק לגורמים. תשובה סופית ללא דרך פתרון לא תתקבל.
בסטטיסטיקה — יש להראות את ההצבות בנוסחה.
בהסתברות — יש להראות את כל דרך הפתרון (חיבור/חיסור/כפל הסתברויות). אין חובת כתיבה פורמלית.
בדמיון משולשים — יש לרשום מהן הזוויות השוות עם נימוק, כגון: "זוויות קודקודיות שוות" או "זוויות מתחלפות שוות".
בהתפלגות נורמלית — יש לכתוב את ערכי המשתנה במלבנים שעל גרף ההתפלגות הנמצא בגוף הבחינה, ולא על הנוסחאון הריק.
בגופים במרחב — צריך להראות את ההצבות בנוסחאות.
בתכנון ליניארי — מומלץ לשרטט את הקווים הישרים בעזרת סרגל.
אם טועים ביחידות מידה (כגון יחידות זמן, יחידות מרחק וכדו') — ההורדה היא משמעותית.

רמה 4 ו-5 יח״ל

הסתברות:

יש להגדיר את המאורעות במילים או בסמלים. כל סמל (כגון ⁦A⁩ או ⁦B⁩) חייב להיות מוגדר במילים.
בהסתברות מותנית יש לרשום במילים או בסמלים ⁦P(A/B)⁩, ולאחר מכן להציב את המספרים בנוסחה.

גיאומטריה (גיאומטריה של המישור, גיאומטריה אנליטית, טריגונומטריה ווקטורים):

בפתרון שאלה יש לציין את התכונות או המשפטים שבהם נעשה שימוש. ניתן להשתמש לנימוק במשפטים הנלמדים המפורטים בתוכנית הלימודים, ובגיאומטריה של חטיבת הביניים — במשפטים המופיעים בקובץ המשפטים של חט״ב.
מומלץ להעתיק את השרטוט למחברת; חובה לשרטט במחברת הבחינה. אם מוסיפים לשרטוט בניות עזר (כגון ישר, נקודה וכדומה) — יש לציין זאת.
הוכחה בגיאומטריה ניתן לכתוב במספר אופנים, וכל רצף הוכחה נכון יתקבל. אין צורך בכתיבת יתר: למשל, כאשר רושמים ששני ישרים מקבילים זה לזה, אין צורך להוסיף שגם קטעים מאותם ישרים מקבילים זה לזה. כמו כן אין צורך לרשום נימוקים מהסוג "כל גודל שווה לעצמו", "כלל החיבור" או "כלל החיסור"; הנימוקים הנדרשים הם הגדרות וציטוטי משפטים גיאומטריים בלבד (וכן בטריגונומטריה ובווקטורים).
וקטורים — אם באופן עקבי לא רושמים את סימן הווקטור, מורידים 5%.

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי (חקירת פונקציה):

בכתיבת תחומים, אם רושמים אי-שוויון חזק במקום חלש או להפך — לא מקבלים נקודות על הסעיף.
טעות בתחום ההגדרה של פונקציה עלולה להוביל להורדה משמעותית בניקוד, גם בסעיפים נוספים שבהם היא באה לידי ביטוי — למשל טעות הגורמת לאיבוד נקודות קיצון בעקבות צמצום תחום ההגדרה, לתוספת נקודות קיצון בעקבות הרחבתו, לשינוי בתחומי העלייה והירידה, או לאיבוד/הוספה של אסימפטוטות.
אין צורך לפרט את דרך ההגעה לאסימפטוטה (חישובי גבולות).
בכתיבת תחום מונוטוניות יש לפצל את התחום לשני צדי האסימפטוטה האנכית, ו/או להחריג ממנו נקודת אי-הגדרה סליקה.
בקביעת סוג נקודת קיצון אין צורך לפרט את חישובי ההצבה בנגזרת (או בפונקציה); אפשר לקבוע את סוג הקיצון בדרך גרפית או משיקולים איכותיים.
טעות בנגזרת של פונקציה עלולה להוביל להורדת ניקוד בכל הסעיפים הקשורים לנגזרת, כולל השרטוט. אם משרטטים גרף באופן איכותי (ללא שימוש בנגזרת) לפי תכונות הפונקציה — חיוביות ושליליות, אסימפטוטות, נקודות חיתוך עם הצירים ועוד — יקבלו נקודות על הגרף.
אם משרטטים גרף באופן שגוי (כגון אסימפטוטות לא נכונות, ציר ה-⁦x⁩ חותך את הגרף בצורה שגויה, גרף החותך אסימפטוטה אנכית, גרף חלקי או גרף מחוץ לתחום ההגדרה) — לא נותנים נקודות על שרטוט הגרף.
בפתרון בעיות עם פרמטרים אין להשתמש בהצבת מספר במקום הפרמטר. סעיפים המבוססים על ערך פרמטר שנבחר באופן שרירותי "לצורך המשך הפתרון" לא ייבדקו; בחירת ערך פרמטר שלא ניתן בשאלה עלולה להביא לחשד באי-קיום טוהר הבחינה, ולא מקבלים נקודות על המשך השאלה.
בבעיות ערך קיצון — אם טועים בבניית פונקציית המטרה, לא מקבלים נקודות על המשך השאלה.
בחישוב שטח בעזרת אינטגרל יש לכתוב פונקציה קדומה ולהראות בה הצבת גבולות. ללא מציאת הפונקציה הקדומה לא יינתן ניקוד לסעיף.
אם לא רושמים ⁦dx⁩ ו/או לא רושמים סוגריים במקום הנכון בכתיבת האינטגרל — מורידים 5%.
אם טועים בזיהוי השטח הנדרש ומחשבים שטח אחר מהמבוקש — מקבלים נקודות רק עבור מציאת הפונקציה הקדומה.

רמה 4 יח״ל

צלעות וזוויות (גיאומטריה של המישור, גיאומטריה אנליטית, טריגונומטריה):

בחישוב צלעות וזוויות יש לציין את המשולש/המצולע שאליו מתייחס הפתרון.
בתשובה סופית אין להשאיר ביטויים מהצורה ⁦sin(90°−α)⁩, ⁦sin(180°−α)⁩ או ⁦cos(90°−α)⁩; בטריגונומטריה יש להשתמש בזהויות לצורך הפישוט. יש להראות את ההצבות בנוסחאות.

סטטיסטיקה:

חישוב שטח מתחת לעקומה הנורמלית הסטנדרטית משמאל לציון תקן ייעשה בעזרת הטבלה המופיעה בנוסחאון או בעזרת מחשבון.
חישוב ערך של ציון תקן על פי השטח מתחת לעקומה הנורמלית הסטנדרטית משמאל לציון תקן ייעשה בעזרת הטבלה המופיעה בנוסחאון או בעזרת מחשבון.

רמה 5 יח״ל

הסתברות:

בכתיבת חיתוך מאורעות, איחוד מאורעות ומאורע משלים — יש לרשום אותם במילים או בסמלים מתמטיים.

גיאומטריה:

בחישוב צלעות וזוויות בעזרת כלים טריגונומטריים, משפטי דמיון וכדומה — יש לציין את המשולש/המצולע שאליו מתייחס הפתרון.
בתשובה סופית אין להשאיר ביטויים מהצורה ⁦sin(90°−α)⁩, ⁦sin(180°−α)⁩, ⁦cos(180°−α)⁩ או ⁦cos(90°−α)⁩; בטריגונומטריה יש להשתמש בזהויות לצורך הפישוט.

חשבון דיפרנציאלי:

בבדיקת סוג הקיצון של פונקציית מנה באמצעות הנגזרת השנייה — חייבים להסביר מדוע מספיק לגזור את המונה בלבד. אין לרשום את נגזרת המונה כנגזרת השנייה של הפונקציה.

פונקציות טריגונומטריות ואינטגרל שלהן:

יש לעבוד ברדיאנים בלבד. פתרון במעלות אינו מזכה בנקודות.

אינדוקציה מתמטית:

יש לרשום משפטי קישור המציגים את תהליך ההוכחה. יש לרשום, למשל: "נבדוק את נכונות הטענה עבור ⁦n=1⁩" (ולא רק "⁦n=1⁩"), "נניח את נכונות הטענה עבור ⁦n=k⁩", "נוכיח את נכונות הטענה עבור ⁦n=k+1⁩".
אם רושמים לא נכון את מה שצריך להוכיח — לא בודקים את המשך ההוכחה. אם כותבים בהנחת האינדוקציה "נניח לכל ⁦n⁩ טבעי" — מורידים 20%.

מספרים מרוכבים:

תשובה סופית יכולה להיכתב בכתיב מקוצר, כגון ⁦r·cis α⁩.
מעבר מהצגה אלגברית להצגה קוטבית חייב להיות מפורט במחברת הבחינה.
בפתרון משוואה (כולל משוואה ריבועית עם מקדמים ממשיים) יש להראות דרך פתרון על ידי הצבה — ולא על ידי מקדמים במחשבון.